「TJOI2019」唱、跳、rap 和篮球 题解

题意就不用讲了吧……

鸡你太美！！！

题意：

有 \(4\) 种喜好不同的人，分别最爱唱、跳、 \(rap\)、篮球，他们个数分别为 \(A,B,C,D\) ，现从他们中挑选出 \(n\) 个人并进行排列，规定不能出现喜爱唱、跳、 rap、篮球的人在序列中依次出现，问合法方案数。

下文将喜爱唱、跳、 \(rap\)、篮球的人依次出现的区间称为聚集区间，长度为 \(4\)。

思路（容斥原理 + 生成函数 + \(\mathcal{NTT}\)）

首先，我们可以发现如果顺着求方案数并不好求。秉持顺难逆易的原则，我们可以考虑容斥，令 \(f(k)\) 表示在长度为 \(n\) 的序列中出现了至少 \(k\) 个聚集区间的方案数，进而我们得出：\(Answer=\displaystyle\sum_{k}(-1)^{k}f(k)\)。

接下来，我们的目标就是求出 \(f(k)\)。我们可以设这 \(k\) 个聚集区间的起始位置 \(i\)，并把 \(i,i+1,i+2,i+3\) 缩为一个点，这样就一共剩下 \(n-3k\) 个点，接着，我们就可以从这 \(n-3k\) 个点中选取不在聚集区间内的点，这样的点一共有 \(n-4k\) 个，所以方案数为 \(\binom{n-3k}{n-4k}=\binom{n-3k}{k}\)。

我们设 \(S(a,b,c,d,n)\) 表示 \(4\) 种人的数量分别有 \(a,b,c,d\) 个，从中挑选出 \(n\) 个人并进行排列的方案数。所以，\(f(k)=\binom{n-3k}{k}S(A-k,B-k,C-k,D-k,n-4k)\)

随后，我们把注意力放在 \(S(a,b,c,d,n)\) 上，可以发现这与指数型生成函数 \(EGF\) 的应用场景非常类似。所以，我们可以写出每种人的生成函数，例如第一种人的生成函数为 \(\displaystyle\sum_{k}^{a}\dfrac{x^k}{k!}\)。接着，我们将这四种人的生成函数进行卷积，而其中的第 \(n\) 项的系数就是答案，即 \([x^{n}]\displaystyle\sum_{k}^{a}\dfrac{x^k}{k!}\displaystyle\sum_{k}^{b}\dfrac{x^k}{k!}\displaystyle\sum_{k}^{c}\dfrac{x^k}{k!}\displaystyle\sum_{k}^{d}\dfrac{x^k}{k!}\)

综上，\(Answer=\displaystyle\sum_{k}(-1)^{k}f(k)=\displaystyle\sum_{k}(-1)^{k}\binom{n-3k}{k}S(A-k,B-k,C-k,D-k,n-4k)\)

时间复杂度

如果卷积时使用 \(\mathcal{NTT}\)，时间复杂度约为 \(n^2\log_2n\)。但由于数据不强，时限宽松，暴力进行卷积也可通过，时间复杂度约为 \(n^3\)。

听说还有使用其它方法 \(AC\) 的 \(n\sqrt{n}\) 的算法，蒟蒻不会太强了%%%

代码实现：

#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define Int register int
#define Lc(x) Child[x][0]
#define Rc(x) Child[x][1]
#define Swap(a, b) a ^= b ^= a ^= b
#define Abs(x) ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define Max(x, y) ((x) < (y) ? (y) : (x))
#define Min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define Isdigit(ch) (ch >= '0' and ch <= '9')
const int MAXN = 1e3 + 10;
const double Pi = acos (-1.0);
const LL Mod = 998244353, G = 3, Inv2 = 499122177, INF = 1LL << 60;
inline LL Read () {
	LL f = 0, x = 0;
	char ch = getchar ();
	while (!isdigit (ch) ) {
		f |= (ch == '-'), ch = getchar ();
	}
	while (isdigit (ch) ) {
		x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar ();
	}
	return f ? -x : x;
}
inline void Write (const LL &x) {
	if (x < 0 ) {
		putchar ('-'), Write (-x);
		return ;
	}
	if (x > 9 ) {
		Write (x / 10);
	}
	putchar ((x % 10) ^ 48);
	return ;
}
LL Answer;
int n, a, b, c, d;
LL Fact[MAXN], Inv[MAXN], Pow[MAXN], Sum1[MAXN], Sum2[MAXN];
inline LL Qkpow (LL Base, LL x) {
	LL Total = 1;
	while (x ) {
		if (x & 1 ) {
			Total = Total * Base % Mod;
		}
		Base = Base * Base % Mod, x >>= 1;
	}
	return Total;
}
inline LL Getinv (const LL x) {
	return Qkpow (x, Mod - 2);
}
inline LL Getbinom (const int n, const int m) {
	return Fact[n] * Inv[m] % Mod * Inv[n - m] % Mod;
}
inline LL Clac (const int a, const int b, const int c, const int d, const int n) {
	Int i, j;
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		Sum1[i] = Sum2[i] = 0;
	}
	Sum1[0] = 1;
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		for (j = 0; j <= a and i + j <= n; ++ j ) {
			Sum2[i + j] = (Sum2[i + j] + Sum1[i] * Inv[i] % Mod * Fact[i + j] % Mod * Inv[j] % Mod) % Mod;
		}
	}
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		Sum1[i] = Sum2[i], Sum2[i] = 0;
//		printf ("%lld ", Sum1[i]);
	}
//	putchar ('\n');
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		for (j = 0; j <= b and i + j <= n; ++ j ) {
			Sum2[i + j] = (Sum2[i + j] + Sum1[i] * Inv[i] % Mod * Fact[i + j] % Mod * Inv[j] % Mod) % Mod;
		}
	}
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		Sum1[i] = Sum2[i], Sum2[i] = 0;
//		printf ("%lld ", Sum1[i]);
	}
//	putchar ('\n');
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		for (j = 0; j <= c and i + j <= n; ++ j ) {
			Sum2[i + j] = (Sum2[i + j] + Sum1[i] * Inv[i] % Mod * Fact[i + j] % Mod * Inv[j] % Mod) % Mod;
		}
	}
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		Sum1[i] = Sum2[i], Sum2[i] = 0;
//		printf ("%lld ", Sum1[i]);
	}
//	putchar ('\n');
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		for (j = 0; j <= d and i + j <= n; ++ j ) {
			Sum2[i + j] = (Sum2[i + j] + Sum1[i] * Inv[i] % Mod * Fact[i + j] % Mod * Inv[j] % Mod) % Mod;
		}
	}
	for (i = 0; i <= n; ++ i ) {
		Sum1[i] = Sum2[i], Sum2[i] = 0;
//		printf ("%lld ", Sum1[i]);
	}
//	putchar ('\n');
	return Sum1[n];
}
signed main () {
	n = Read (), a = Read (), b = Read (), c = Read (), d = Read ();
	Int i;
	for (i = Pow[0] = Fact[0] = 1; i <= n; ++ i ) {
		Fact[i] = Fact[i - 1] * i % Mod, Pow[i] = Pow[i - 1] * 4 % Mod;
	}
	Inv[n] = Getinv (Fact[n]);
	for (i = n - 1; ~i; -- i ) {
		Inv[i] = Inv[i + 1] * (i + 1) % Mod;
	}
	if (a == b and b == c and c == d ) {
		for (i = 0; i <= n / 4; ++ i ) {
			Answer = (Answer + (i & 1 ? -1 : 1) * Pow[n - 4 * i] * Getbinom (n - 3 * i, i) % Mod + Mod) % Mod;;
		}
		Write (Answer);
		return 0;
	}
	for (i = 0; i <= n / 4 and i <= a and i <= b and i <= c and i <= d; ++ i ) {
//		printf ("---------i = %d---------\n", i);
		Answer = (Answer + (i & 1 ? -1 : 1) * Clac (a - i, b - i, c - i, d - i, n - 4 * i) * Getbinom (n - 3 * i, i) % Mod + Mod) % Mod;;
//		Write (Answer), putchar ('\n');
	}
	Write (Answer);
	return 0;
}