KMP算法解决字符串匹配问题

要解决的问题

假设字符串str长度为N，字符串match长度为M，M <= N, 想确定str中是否有某个子串是等于match的。返回和match匹配的字符串的首字母在str的位置，如果不匹配，则返回-1

OJ可参考：LeetCode 28. 实现 strStr()

暴力方法

从str串中每个位置开始匹配match串，时间复杂度O(M*N)

KMP算法

KMP算法可以用O(N)时间复杂度解决上述问题。

流程

我们规定数组中每个位置的一个指标，这个指标定义为

这个位置之前的字符前缀和后缀的匹配长度，不要取得整体。

例如: ababk 这个字符串，k位置的指标为2, 因为k之前位置的字符串为abab

前缀ab 等于后缀ab，长度为2，下标为3的b的指标为1，因为b之前的字符串aba ,前缀a 等于后缀a, 长度为1。

人为规定：0位置的指标是-1，1位置的指标0

假设match串中每个位置我们都已经求得了这个指标值，放在了一个next数组中，这个数组有助于我们加速整个匹配过程。

我们假设在某个时刻，匹配的到的字符如下

其中str的i..j一直可以匹配上match串的0...m, str中的x位置和match串中的y位置第一次匹配不上。如果使用暴力方法，此时我们需要从str的i+1位置重新开始匹配match串的k位置，而KMP算法，利用next数组，可以加速这一匹配过程，具体流程是，依据上例，我们可以得到y位置的next数组信息，假设y的next数组信息是2，如下图

如果y的next数组信息是2，那么0...k 这一段完全等于f...m这一段，那么对于match来说，当y位置匹配不上x位置以后, 可以直接让x位置匹配y的next数组位置p上的值，如下图

如果匹配上了，则x来到下一个位置，p来到下一个位置继续匹配，如果再次匹配不上，假设p位置的next数组值为0, 则继续用x匹配p的next数组位置0位置上的值，如下图

如果x位置的值依旧不等于0位置的值，则宣告本次匹配失败，str串来到x下一个位置，match串从0位置开始继续匹配。

next数组求解

next数组的求解是KMP算法中最关键的一步，要快速求解next数组，需要做到当我们求i位置的next信息时，能通过i-1的next数组信息加速求得,如下图

当我们求i位置的next信息时，假设j位置的next信息为6，则表示

m...n这一段字符串等于s...t这一段字符，此时可以得出一个结论，如果：

x位置上的字符等于j位置上的字符，那么i位置上的next信息为j位置上的next信息加1，即为7。如果不等，则继续看x位置上的next信息，假设为2，则有：

此时，判断q位置的值是否等于j位置的值，如果相等，那么i位置上的next信息为x位置上的next信息加1，即为3，如果不等，则继续看q位置上的next信息，假设为1，那么有

此时，判断p位置的值是否等于j位置的值，如果相等，那么i位置上的next信息为q位置上的next信息加1，即为2，如果不等，则继续如上逻辑，如果都没有匹配上j位置的值，则i位置的next信息为0。

主流程代码复杂度估计

public class LeetCode_0028_ImplementStrStr {
    public static int strStr(String str, String match) {
        if (str == null || match == null || match.length() > str.length()) {
            return -1;
        }
        if (match.length() < 1) {
            return 0;
        }
        char[] s = str.toCharArray();
        char[] m = match.toCharArray();
        int l = m.length;
        int[] next = getNextArr(m, l);
        int x = 0;
        int y = 0;
        while (y < s.length && x < l) {
            if (s[y] == m[x]) {
                y++;
                x++;
            } else if (x != 0) {
                x = next[x];
            } else {
                y++;
            }
        }
        return x == l ? y - x : -1;
    }
    // 求解next数组逻辑
    private static int[] getNextArr(char[] str, int l) {
        if (l == 1) {
            return new int[]{-1};
        }
        int[] next = new int[l];
        next[0] = -1;
        next[1] = 0;
        int i = 2; // 目前在哪个位置上求next数组值
        int cn = 0; // 前后缀最长字符的长度，也表示下一个要比的信息位置
        while (i < next.length) {
            if (str[i - 1] == str[cn]) {
                next[i++] = ++cn;
            } else if (cn > 0) {
                cn = next[cn];
            } else {
                next[i++] = 0;
            }
        }
        return next;
    }
}

next数组的求解流程时间复杂度显然为O(N)，现在估计主流程的复杂度，主流程中，x能取得的最大值为str字符串的长度N，定义一个变量x-y,能取得的最大值不可能超过N（即当x = N，y=0时候），在主流程的wile循环中，有三个分支

        while (y < s.length && x < l) {
            if (s[y] == m[x]) {
                y++;
                x++;
            } else if (x != 0) {
                x = next[x];
            } else {
                y++;
            }
        }

我们考虑这三个分支对于y和y - x变化范围的影响

分支	y	y - x
x++; y++	推高	不变
x = next[x]	不变	推高
y++	推高	推高

如上分析，y和y-x都不可能降低，且三个分支只能中一个，所以，而y和y-x的最大值均为N，所有分支执行总推高的次数不可能超过2N。即得出主流程的复杂度O(N)

KMP算法应用

求一个字符串的旋转词（详见：LeetCode 796）

思路

将这个字符串拼接一下, 比如原始串为：123456，拼接成：123456123456

如果匹配的字符串是这个拼接的字符串的子串，则互为旋转词。

一棵二叉树是否为另外一棵二叉树的子树(详见：LeetCode 572)

思路

先将两棵树分别序列化为数组A和数组B，如果B是A的子串，那么A对应的二叉树中一定有某个子树的结构和B对应的二叉树完全一样。

算法和数据结构笔记

参考资料