循环不变式（loop invariant）

循环不变式是一种条件式（必须满足的条件，对循环而言是保持不变的，无论循环执行了多少次），循环语句没执行一次，就要求中间的结果必须符合不变式的要求。

• （1）进入循环语句时，不变式必须成立；
• （2）循环语句的循环体不能破坏不变式。也就是说，循环体开始循环时不变式成立，结束时也必须成立；
• （3）如果循环语句终止时不变式，依旧成立，那么至少说明，循环在保持循环不变式上没有犯错。

// (**) 不变式在进入循环之前必须成立
while () {
    // 循环体开始
    ...
    // 循环体结束
    // (**) 不变式在此处也必须成立
}

1. 插入排序的循环不变式

插入排序由 N-1 趟（pass）排序组成。对于 P = 1 趟到 P = N-1 趟，插入排序保证从位置 0 到位置 P 上的元素为已排序状态（sorted）。

也即从位置 0 到位置 P-1 上的元素是已排序的。

typedef int ElementType;
void InsertionSort(ElementType* A, int N) {
    int j, P;
    ElementType Tmp;
    for (P = 1; P < N; ++P) {
        Tmp = A[P];

        // 应用循环不变式的地方
        // 因为前 0 ~ P-1 位置上所有的元素都是位于已排序的状态；
        // 所以当第一次出现 A[j-1] <= Tmp; 便找到了 Tmp 应该插入的位置
        for (j = P; j > 0 && A[j-1] > Tmp; --j) {
            A[j] = A[j-1];
        }

        A[j] = Tmp;
    }
}