[实变函数]5.6 Lebesgue 积分的几何意义 $\bullet$ Fubini 定理

1 本节推广数学分析中的 Fubini 定理. 为此, 先引入

(1)(从低到高) 对 $A\subset \bbR^p, B\subset\bbR^q$, $$\bex A\times B=\sed{(x,y);x\in A, y\in B} \eex$$ 称为 $A$ 与 $B$ 的直积 (direct product).

(2)(从高到低) 设 $E\subset \bbR^{p+q}$, $x\in \bbR^p$, 则称 $$\bex E_x=\sed{y\in\bbR^q;(x,y)\in E} \eex$$ 为 $E$ 关于 $x$ 的截面 (section).

2直积与截面的性质: $$\beex \ba{lll} A_1\subset A_2&\ra A_1\times B\subset A_2\times B&(A_1)_x\subset (A_2)_x\\ A_1\cap A_2=\vno&\ra A_1\times B\cap A_2\times B=\vno&(A_1)_x\cap (A_2)_x=\vno\\ \sed{A_i}_i&\ra\sex{\cup_iA_i}\times B=\cup_i (A_i\times B)&\sex{\cup_i A_i}_x=\cup_i (A_i)_x\\ \sed{A_i}_i&\ra\sex{\cap_iA_i}\times B=\cap_i (A_i\times B)&\sex{\cap_i A_i}_x=\cap_i (A_i)_x\\ A_1,A_2&\ra (A_1\bs A_2)\times B=(A_1\times B)\bs (A_2\bs B)& (A_1\bs A_2)_x=(A_1)_x\bs (A_2)_x. \ea \eeex$$

3直积保持开、闭: $$\bex O_1,F_1\subset\bbR^p;\ O_2,F_2\subset \bbR^q\ra O_1\times O_2\mbox{ 开 }, F_1\times F_2\mbox{ 闭}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea (x_1,x_2)\in O_1\times O_2 &\ra x_1\in O_1,\ x_2\in O_2\\ &\ra \exists\ U(x_1)\subset O_1,\ U(x_2)\subset O_2\\ &\ra (x_1,x_2)\in U(x_1)\times U(x_2)\subset O_1\times O_2;\\ (x_1,x_2)\in (F_1\times F_2)^c &\ra (x_1,x_2)\not\in F_1\times F_2\\ &\ra x_1\not\in F_1\mbox{ 或 }x_2\not\in F_2\\ &\ra x_1\in F_1^c\mbox{ 或 }x_2\in F_2^c\\ &\ra (x_1,x_2)\in F_1^c\times \bbR^q, (F_1^c\times \bbR^q)\cap (F_1\times F_2)=\vno\\ &\quad\mbox{ 或 }(x_1,x_2)\in \bbR^p\times F_2^c, (\bbR^p\times F_2^c)\cap (F_1\times F_2)=\vno. \eea \eeex$$

4降维法求测度---Fubini 定理的前奏: (截面定理) 设 $E\subset \bbR^{p+q}$ 可测, 则

(1)对 $\ae x\in \bbR^p$, $E_x\subset \bbR^q$ 可测;

(2)$mE_x$ 是 $\bbR^p$ 上 $\ae$ 有定义的可测函数;

(3)$\dps{mE=\int_{\bbR^p}mE_x\rd x}$.

证明: 我们一步步简化.

(1)    由于 $\dps{E=\cup_{i=1}^\infty E_i, E_i=E\cap B(0,n)}$, 我们仅须考虑有界可测集.

(2)    由可测集的构造: $$\bex E=G\bs Z,\ G=\cap_{i=1}^\infty O_i:G_\delta\mbox{ 集},Z:\mbox{ 零测度集} \eex$$ 及极限与测度的可交换性 (注意 $mE<+\infty$), 我们仅须考虑开集、零测度集.

(3)    再由开集的构造, 我们仅须考虑 (左开右闭) 区间和零测度集.

(4)    对区间 $E=I_1\times I_2$, $$\beex \bea E_x=\sedd{\ba{ll} I_2,&x\in I_1\\ \vno,&x\not\in I_1 \ea}&\ra m E_x=\sedd{\ba{ll} |I_2|,&x\in I_1\\ 0,&x\not\in I_1 \ea}\\ &\ra mE=|I_1|\cdot |I_2|=\int_{\bbR^p}mE_x\rd x. \eea \eeex$$

(5)对零测度集 $Z: mZ=0$, $$\beex \bea &\quad \exists\ G_\delta\mbox{ 集: } G,\st mG=mE=0\quad\sex{\mbox{直接由定义}}\\ &\ra 0=mG=\int_{\bbR^p}mG_x\rd x\\ &\ra 0=mG_x\geq mE_x, \ae\\ &\ra 0=mE_x, \ae\\ &\ra mE=0=\int_{\bbR^p}m E_x\rd x. \eea \eeex$$

6直积的测度: $$\bex A\subset\bbR^p\mbox{ 可测}, B\subset \bbR^q\mbox{ 可测}\ra A\times B\subset\bbR^{p+q}\mbox{ 可测, 且 }m(A\times B)=mA\cdot mB. \eex$$ 证明: 若 $A,B$ 可测, 则 $$\bex \ba{ll} &\quad (A\times B)_x=\sedd{\ba{ll} B,&x\in A\\ \vno,&x\not\in A \ea}\ra m(A\times B)_x=\sedd{\ba{ll} mB,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \ea}\\ &\ra m(A\times B)=\int_{\bbR^p}m(A\times B)_x\rd x =\int_A mB\rd x =mA\cdot mB. \ea \eex$$ 往证 $A, B$ 可测. 不妨设 $A, B$ 有界 (否则用极限与测度的可交换性). 此时, $A,B$ 可通过开、闭集来上、下逼近: $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \sedd{\ba{ll} O_1\supset A\supset F_1\\ O_2\supset B\supset F_2 \ea},\ \st \sedd{\ba{ll} m(O_1\bs A)<\ve, m(A\bs F_1)<\ve\\ m(O_2\bs B)<\ve, m(B\bs F_2)<\ve \ea}. \eex$$ 于是 $$\bex O_1\times O_2\supset A\times B\supset F_1\times F_2, \eex$$ 且 $$\beex \bea m(O_1\times O_1\bs F_1\times F_2) &\leq m\sez{(O_1\bs F_1)\times O_2\cup O_1\times (O_2\bs F_2)}\\ &\leq m\sez{(O_1\bs F_1)\times O_2}+m\sez{O_1\times (O_2\bs F_2)}\\ &=m(O_1\bs F_1)\cdot m(O_2)+m(O_1)\cdot m(O_2\bs F_2)\\ &<2\ve [m(O_1)+m(O_2)]. \eea \eeex$$ 因此, $A, B$ 可测.

7非负可测函数积分的几何意义: 设 $f$ 为可测集 $E\subset \bbR^n$ 上的非负函数. 则  (1)$f$ 在 $E$ 上可测 $\lra$ $f$ 的下方图形 $$\bex G(E,f)=\sed{(x,z);x\in E,0\leq z<f(x)} \eex$$ 在 $\bbR^n$ 中可测;

(2)$f$ 在 $E$ 上可测 $\dps{\int_Ef(x)\rd x =mG(E,f)}$. 证明: $f=c$ 时, $\dps{G(E,f)=\sedd{\ba{ll} E\times [0,c),&c>0\\ \vno,&c=0 \ea}}$. $\dps{f=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}}$ 时, $\dps{G(E,f)=\cup_{i=1}^j G(E_i,f)}$. $f$ 非负可测时, $\exists\ \phi_k\nearrow f$, 而 $\dps{G(E,f)=\cup_{k=1}^\infty G(E,\phi_k)}$. 于是我们证得必要性. 往证充分性及等式. 若 $G(E,f)$ 可测, 则 $$\bex mG_x(E,f)=\sedd{\ba{ll} f(x),&x\in E\\ 0,&x\not\in E \ea} \eex$$ 是 $\bbR$ 中 $\ae$ 有定义的可测函数, 且 $$\bex mG(E,f)=\int_{\bbR^n}mG_x(E,f)\rd x =\int_Ef(x)\rd x. \eex$$

8推广: $$\bex E\subset \bbR^n, f\in L(E)\ra \int_E f(x)\rd x=mG(E,f^+)-mG(E,f^-). \eex$$

(1)$f$ Lebesgue 可积的一个充要条件 (上、下方图形的面积均有限): $$\bex f\in L(E)\lra mG(E,f^\pm)<+\infty. \eex$$

9 Fubini 定理:

(1) 设 $f(P)=f(x,y)$ 在可测集 $A\times B\subset \bbR^p\times \bbR^q$ 上非负可测, 则对 $\ae x\in A$, $f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $B$ 上非负可测, 且 $$\bex \int_{A\times B}f(P)\rd P =\int_A\rd x\int_Bf(x,y)\rd y. \eex$$

(2)设 $f(P)=f(x,y)$ 在可测集 $A\times B\subset \bbR^p\times \bbR^q$ 上可积, 则对 $\ae x\in A$, $f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $B$ 上可积, $\dps{\int_B f(x,y)\rd y}$ 作为 $x$ 的函数在 $A$ 上可积, 且 $$\bex \int_{A\times B}f(P)\rd P =\int_A\rd x\int_Bf(x,y)\rd y. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \int_{A\times B}f(P)\rd P &=mG(A\times B,f)\\ &=\int_{\bbR^p}mG_x(A\times B,f)\rd x\\ &=\int_{\bbR^p}mG(B,f_{x\mbox{ 固定}})\rd x\\ &\quad\sex{G_x(A\times B,f)=\sedd{\ba{ll} B\times [0,f(x,y)),&x\in A\\ \vno,x\not\in A \ea}}\\ &=\int_{\bbR^p}\rd x\int_Bf(x,y)\rd y. \eea \eeex$$ $$\beex \bea \int_{A\times B}f(P)\rd P &=\int_{A\times B}f^+(P)\rd P -\int_{A\times B}f^-(P)\rd P\\ &\quad\sex{\int_{A\times B}f^\pm(P)\rd P<+\infty}\\ &=\int_A\rd x\int_B f^+(x,y)\rd y -\int_A\rd x\int_Bf^-(x,y)\rd y\\ &\quad\sex{\int_B f^\pm(x,y)\rd y\mbox{ 是关于 }x\mbox{ 的 }\ae\mbox{有限的非负可测函数}}\\ &=\int_A\rd x\sez{\int_Bf^+(x,y)\rd y-\int_B f^-(x,y)\rd y}\\ &=\int_A\rd x\int_Bf(x,y)\rd y. \eea \eeex$$

10$\dps{ \mbox{ 重积分存在}\ra \mbox{累次积分相等}\ra \mbox{ 累次积分可交换次序}. }$

11例: 对 $E=(0,1)^2$ 上的函数 $\dps{f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}}$, 由\footnote{$\dps{\int_0^1f(x,y)\rd y}$ 的计算可通过变量替换 $y=x\tan \theta$ 得到.} $$\bex \int_{(0,1)}\rd x\int_{(0,1)}f(x,y)\rd y =\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\rd x=\frac{\pi}{4},\\ \int_{(0,1)}\rd y\int_{(0,1)}f(x,y)\rd x =\int_0^1\frac{-1}{1+y^2}\rd y=\frac{-\pi}{4} \eex$$ 知 $f\not\in L(E)$.

12作业: Page 134 T 21.