最近点对问题:给定平面上n个点,找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。需要说明的是理论上最近点对并不止一对,但是无论是寻找全部还是仅寻找其中之一,其原理没有区别,仅需略作改造即可。本文提供的算法仅寻找其中一对。

  解决最近点对问题最简单的方法就是穷举法,这样时间复杂度是平方级,可以说是最坏的策略。如果使用分治法,其时间复杂度就是线性对数级,这样大大提高了效率。

  首先用分治法解决该问题的基本思路可以参考 http://blog.csdn.net/lishuhuakai/article/details/9133961 ,说的很详细,但大致思路就是先根据x轴把所有点平分,然后分别在每一部分寻找最近点对,最后通过比较选一个最小的。当然其中最核心的地方是跨域求距离,原文写的很清楚,在此就不再赘述了。

以下是代码:

  1. from math import sqrt
  2.  
  3. def nearest_dot(s):
  4. len = s.__len__()
  5. left = s[0:len/2]
  6. right = s[len/2:]
  7. mid_x = (left[-1][0]+right[0][0])/2.0
  8.  
  9. if left.__len__() > 2: lmin = nearest_dot(left) #左侧部分最近点对
  10. else: lmin = left
  11. if right.__len__() > 2: rmin = nearest_dot(right) #右侧部分最近点对
  12. else: rmin = right
  13.  
  14. if lmin.__len__() >1: dis_l = get_distance(lmin)
  15. else: dis_l = float("inf")
  16. if rmin.__len__() >1: dis_2 = get_distance(rmin)
  17. else: dis_2 = float("inf")
  18.  
  19. d = min(dis_l, dis_2) #最近点对距离
  20.  
  21. mid_min=[]
  22. for i in left:
  23. if mid_x-i[0]<=d : #如果左侧部分与中间线的距离<=d
  24. for j in right:
  25. if abs(i[0]-j[0])<=d and abs(i[1]-j[1])<=d: #如果右侧部分点在i点的(d,2d)之间
  26. if get_distance((i,j))<=d: mid_min.append([i,j]) #ij两点的间距若小于d则加入队列
  27. if mid_min:
  28. dic=[]
  29. for i in mid_min:
  30. dic.append({get_distance(i):i})
  31. dic.sort(key=lambda x: x.keys())
  32. return (dic[0].values())[0]
  33. elif dis_l>dis_2:
  34. return rmin
  35. else:
  36. return lmin
  37.  
  38. # 求点对的距离
  39. def get_distance(min):
  40. return sqrt((min[0][0]-min[1][0])**2 + (min[0][1]-min[1][1])**2)
  41.  
  42. def divide_conquer(s):
  43. s.sort(cmp = lambda x,y : cmp(x[0], y[0]))   
  44. nearest_dots = nearest_dot(s)
  45. print nearest_dots

测试一下,比如说要找这些点中最近的一对s=[(0,1),(3,2),(4,3),(5,1),(1,2),(2,1),(6,2),(7,2),(8,3),(4,5),(9,0),(6,4)]

运行一下divide_conquer(s),最终打印出[(6, 2), (7, 2)],Bingo

  1.  

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