Luogu 2469 [SDOI2010]星际竞速 / HYSBZ 1927 [Sdoi2010]星际竞速（网络流，最小费用流）

Description

10年一度的银河系赛车大赛又要开始了。作为全银河最盛大的活动之一，夺得这个项目的冠军无疑是很多人的梦想，来自杰森座α星的悠悠也是其中之一。赛车大赛的赛场由N颗行星和M条双向星际航路构成，其中每颗行星都有一个不同的引力值。大赛要求车手们从一颗与这N颗行星之间没有任何航路的天体出发，访问这N颗行星每颗恰好一次，首先完成这一目标的人获得胜利。由于赛制非常开放，很多人驾驶着千奇百怪的自制赛车来参赛。这次悠悠驾驶的赛车名为超能电驴，这是一部凝聚了全银河最尖端科技结晶的梦幻赛车。作为最高科技的产物，超能电驴有两种移动模式：高速航行模式和能力爆发模式。在高速航行模式下，超能电驴会展开反物质引擎，以数倍于光速的速度沿星际航路高速航行。在能力爆发模式下，超能电驴脱离时空的束缚，使用超能力进行空间跳跃——在经过一段时间的定位之后，它能瞬间移动到任意一个行星。天不遂人愿，在比赛的前一天，超能电驴在一场离子风暴中不幸受损，机能出现了一些障碍：在使用高速航行模式的时候，只能由每个星球飞往引力比它大的星球，否则赛车就会发生爆炸。尽管心爱的赛车出了问题，但是悠悠仍然坚信自己可以取得胜利。他找到了全银河最聪明的贤者——你，请你为他安排一条比赛的方案，使得他能够用最少的时间完成比赛。

Input

第一行是两个正整数N,M。第二行N个数A1~AN，其中Ai表示使用能力爆发模式到达行星i所需的定位时间。接下来M行，每行3个正整数ui,vi,wi，表示在编号为ui和vi的行星之间存在一条需要航行wi时间的星际航路。输入数据已经按引力值排序，也就是编号小的行星引力值一定小，且不会有两颗行星引力值相同。

Output

仅包含一个正整数，表示完成比赛所需的最少时间。

Sample Input

3 3

1 100 100

2 1 10

1 3 1

2 3 1

Sample Output

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2469#sub

HYSBZ:https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1927

Source

网络流，最小费用最大流

题目大意

有n个星球，m条从小编号到大编号的星球的单项航道，每条路径都有一个花费。另外可以通过跳跃的方法，从一个星球跳到星球u，其代价为C[u]。现在从不属于这n个星球的一个星球出发，求不重复遍历所有星球的最小代价。

解决思路

我们用最小费用最大流来解决这道问题。

对于每一个星球我们把其拆成两个点，入点和出点。我们在每一个入点和源点之间连一条代价为0，流量为1的点，在每一个出点和汇点之间同样连一条代价为0，流量为1的点，这样是为了每个点只走一次且必须走一次。

对于跳跃的情况，假设我们跳到u星球的代价是cost，那么我们在源点与u的出点连一条代价为cost，流量为1的边。

对于每一条航道u->v，代价为cost，我们在u的入点和v的出点之间连一条代价为cost，流量为1的边。

注意，在这张图中，我们连的所有边的流量都是1，这样是为了保证每一个星球只走一次。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxN=2010;
const int maxM=40001;
const int inf=2147483647;
class Edge
{
public:
	int u,v,cost,flow;//一条边的出发点，结束点，代价，残量
};
int n,m;
int cnt=-1;
int Head[maxN];
int Next[maxM];
Edge E[maxM];
int dist[maxN];//spfa中0到i的代价
int pre[maxN];//spfa中i点的来源边的编号
int flow[maxN];//spfa中到达某点的流量
bool inqueue[maxN];
void Add_Edge(int u,int v,int cost,int flow);//添加边
void _Add(int u,int v,int cost,int flow);
bool spfa();//spfa求增广路
int main()
{
	memset(Head,-1,sizeof(Head));
	memset(Next,-1,sizeof(Next));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)//我们定义源点为0，汇点为n*2+1
	{
		int cost;
		scanf("%d",&cost);
		Add_Edge(0,i,0,1);//添加源点到入点的边
		Add_Edge(0,i+n,cost,1);//添加源点直接连到出点的边
		Add_Edge(i+n,n*2+1,0,1);//添加出点到汇点的边
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if (u>v)
			swap(u,v);
		Add_Edge(u,v+n,w,1);//添加入点到出点的边
	}
	int Ans=0;
	while (spfa())//spfa增广
	{
		int now=n*2+1;
		int last=pre[now];
		while (now!=0)//修改残量
		{
			E[last].flow-=flow[n*2+1];
			E[last^1].flow+=flow[n*2+1];
			now=E[last].u;
			last=pre[now];
		}
		Ans+=dist[n*2+1];//累计代价
	}
	cout<<Ans<<endl;
	return 0;
}
void Add_Edge(int u,int v,int cost,int flow)
{
	_Add(u,v,cost,flow);//加正边
	_Add(v,u,-cost,0);//加反边
}
void _Add(int u,int v,int cost,int flow)
{
	cnt++;
	Next[cnt]=Head[u];
	Head[u]=cnt;
	E[cnt].u=u;
	E[cnt].v=v;
	E[cnt].cost=cost;
	E[cnt].flow=flow;
}
bool spfa()//spfa求增广路
{
	memset(pre,-1,sizeof(pre));//初始化
	memset(dist,127,sizeof(dist));
	memset(flow,0,sizeof(flow));
	memset(inqueue,0,sizeof(inqueue));
	queue<int> Q;
	while (!Q.empty())
		Q.pop();
	flow[0]=inf;//源点入队
	dist[0]=0;
	inqueue[0]=1;
	Q.push(0);
	do
	{
		int u=Q.front();
		Q.pop();
		inqueue[u]=0;
		for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
		{
			int v=E[i].v;
			if ((E[i].flow>0)&&(dist[v]>dist[u]+E[i].cost))
			{
				dist[v]=dist[u]+E[i].cost;
				pre[v]=i;
				flow[v]=min(flow[u],E[i].flow);
				if (inqueue[v]==0)
				{
					Q.push(v);
					inqueue[v]=1;
				}
			}
		}
	}
	while (!Q.empty());
	if (flow[n*2+1]==0)//当汇点流量为0时，说明不存在增广路，增广结束
		return 0;
	return 1;
}