Good Numbers（HDU5447+唯一分解）

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题意

首先定义对于\(k\)的好数\(u\)：如果\(u\leq k\)且\(u\)的所有质因子与\(k\)的质因子一样则称\(u\)对于\(k\)是一个好数。

现给你两个数\(k1,k2(1\leq k1,k2\leq 10^{24})\)，要你求\(k1,k2\)的好数个数，对于\(k1,k2\)有两者的最大质因子一定相同第二大质因子一定不同。

思路

我们知道对于小于等于\(10^{24}\)的数最多有三个大于\(10^6\)的质因子，因此对于数\(k1,k2\)我们可以先将其小于等于\(10^6\)的质因子全部分离出来，那么最后最多还剩三个质因子的指数相乘。

我们设\(p1,p2,p3\)为二者的最一、二、三大质因子。

如果最后剩余的\(k1,k2\)只剩\(p1\)，那么就只能是\(p1\)的幂次，此时可以通过枚举求出\(p1\)的指数，因为大于\(1e6\)的数最多\(3\)次就大于\(10^{24}\)了。

如果最后剩余的\(k1,k2\)剩\(p1,p2\)的幂次相乘，那么\(gcd(k1,k2)\)一定是\(p1\)的幂次，因为二者的\(p2\)一定不同嘛~这样我们可以通过两次枚举得到其指数。

如果最后剩余的\(k1,k2\)剩\(p1,p2,p3\)的幂次相乘，那么\(p1,p2,p3\)的指数一定都是\(1\)次。

因为好数的要求是需要质因子与\(k\)相同，所以每个质因子的次数至少为\(1\)，所以如果\(k=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\dots\)，那么答案就是\(\prod\limits_{i=1}^{n}c_i\)。

代码实现如下

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
    static int cnt = 0;
    static Boolean v[] = new Boolean[1000007];
    static int p[] = new int[1000007];

    public static void init() {
        for(int i = 0; i <= 1000000; ++i) v[i] = false;
        for(int i = 2; i <= 1000000; ++i) {
            if(!v[i]) p[cnt++] = i;
            for(int j = 0; j < cnt && i * p[j] <= 1000000; ++j) {
                v[i*p[j]] = true;
                if(i % p[j] == 0) break;
            }
        }
    }

    public static int check(BigInteger k) {
        if (k.equals(BigInteger.ONE)) return 1;

        BigInteger a = BigInteger.valueOf((long)Math.sqrt(k.doubleValue()));
        if (k.equals(a.multiply(a))) return 2;
        a = a.add(BigInteger.ONE);
        if (k.equals(a.multiply(a))) return 2;

        BigInteger b = BigInteger.valueOf((long)Math.pow(k.doubleValue(), 1.0/3));
        if (k.equals(b.multiply(b.multiply(b)))) return 3;
        b = b.add(BigInteger.ONE);
        if (k.equals(b.multiply(b.multiply(b)))) return 3;

        return 1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        init();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();
        BigInteger k[] = new BigInteger[5];
        while(t-- != 0) {
            for(int i = 0; i < 2; ++i) k[i] = sc.nextBigInteger();
            long ans[] = new long[5];
            for(int i = 0; i < 2; ++i) {
                ans[i] = 1L;
                for(int j = 0; j < cnt; ++j) {
                    if(k[i].mod(BigInteger.valueOf(p[j])) == BigInteger.ZERO) {
                        long num = 0;
                        while(k[i].mod(BigInteger.valueOf(p[j])) == BigInteger.ZERO) {
                            ++num;
                            k[i] = k[i].divide(BigInteger.valueOf(p[j]));
                        }
                        ans[i] *= num;
                    }
                }
            }
            k[2] = k[0].gcd(k[1]);
            if(k[2].compareTo(BigInteger.valueOf(1000000)) > 0) {
                int x = check(k[2]);
                BigInteger g;
                if(x == 1) g = k[2];
                else if(x == 2) {
                    BigInteger tmp = BigInteger.valueOf((long)Math.sqrt(k[2].doubleValue()));
                    if(k[2].equals(tmp.multiply(tmp))) g = tmp;
                    else g = tmp.add(BigInteger.ONE);
                } else {
                    BigInteger tmp = BigInteger.valueOf((long)Math.pow(k[2].doubleValue(), 1.0/3));
                    if(k[2].equals(tmp.multiply(tmp).multiply(tmp))) g = tmp;
                    else g = tmp.add(BigInteger.ONE);
                }

                for(int i = 0; i < 2; ++i) {
                    long num = 0;
                    while(k[i].mod(g) == BigInteger.ZERO) {
                        ++num;
                        k[i] = k[i].divide(g);
                    }
                    ans[i] *= num;
                    if(k[i].compareTo(BigInteger.valueOf(1000000)) > 0) {
                        ans[i] *= check(k[i]);
                    }
                }
            }
            System.out.println(ans[0] + " " + ans[1]);
        }
        sc.close();
    }
}

对象用\(=\)进行比较是否相等是看地址。