Lambda演算 - 简述Y组合子的作用

Y组合子：\f.(\x.f(xx))(\x.f(xx))，接受一个函数，返回一个高阶函数

Y组合子用于生成匿名递归函数。

什么叫匿名递归函数，考虑以下C语言递归函数

int sum(int n)
{
    return n == 0 ? 0 : n + sum(n-1);
}

这个函数在内部递归调用了自身，调用自身需要函数本体的名字，这个函数叫sum，sum内部用名字sum，递归调用了自己

在lambda演算中，可以写成类似的表达式sum = \x. x == 0 ? 0 : sum x

但是对于一个lambda表达式，他本身是匿名的，lambda在定义的过程中引用了自身，就算是C++，这样的lambda表达式也是不成立的

auto sum = [](int n) {
    return n == 0 ? 0 : n + sum(n-1);
};

lambda表达式本身是不具名的，我们需要绕开这个限制。

一种可能的解决办法是使用高阶函数，用另一个函数把上面的sum包装一下：它接受一个函数f，并返回一个函数，这个函数接受x，判断递归终点，或调用f继续递归：

G = \f. \x. x == 0 ? 0 ： f (x-1)

写成C++是这样的

auto G = [](function<int(int)> f) {
    return [&](int x) {
        return x == 0 ? : 0 : x + f(x-1);
    };
};

现在我们发现，当有一个函数f使得G(f) = [](int x){return x == 0 ? 0 ： x + f(x-1);} = f的时候，这个f正好是我们需要的匿名递归函数sum

G(f) = f，眼熟吗，还记得不动点这个概念吗，我们需要的匿名递归函数sum就是函数G的不动点

求解这个不动点sum，我们即可获得一个匿名递归函数，如何求解见附

最后的结果：sum = YG，Y和G前面已知，这样，sum是一个签名为int(int)的函数，是一个匿名递归函数

Y组合子也称不动点组合子，用这个方法可以求解一切匿名递归函数。

附：sum = YG使得G(sum) = sum的证明：

证明：对于任意G，G(YG) = YG

令W = \x. G(xx), X = WW //这个令真的太TM绝了，反正我是没想到

有X = WW = (\x. G(xx))W = G(WW) = G(X)

又因为YG = (\x. G(xx))(\x. G(xx)) = WW = X

所以G(X) = X就是G(YG) = YG

证毕