【poj1830-开关问题】高斯消元求解异或方程组

第一道高斯消元题目~

题目：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）0<=N<=29

我们用样例来模拟一下：

我的高斯消元求解异或方程组模版：

 int gauss()
 {
     int i,j,k,l;
     //j=当前要消第几个元
     //i=当前消了几个元+1(n-i+1就是自由元个数),也就是当前j要处理的这个方程将要放在第i行，构成上三角矩阵。
     //i、j不等是因为有些元是自由元，不需要消,这些方程放到最后面（维护上三角矩阵）。
     for(i=,j=;i<=n && j<=n;j++)
     {
         for(k=j;k<=n;k++)
             if(a[k][j]) break;//先找到一个这个元的系数不为0方程的换到第i行。
         if(a[k][j])
         {
             for(l=;l<=n+;l++) swap(a[i][l],a[k][l]);
             for(l=;l<=n;l++)//注意这里从1开始，因为把最后回代的过程合并了
             {
                 if(l!=i && a[l][j])//如果系数不为0才异或消元
                     for(k=;k<=n+;k++)
                         a[l][k]^=a[i][k];
             }
             i++;
         }
     }
     for(j=i;j<=n;j++)
         if(a[j][n+]) return -;
     return <<(n-i+);
 }

说一下解的个数问题：

对增广矩阵[A b]做初等行变换，化成阶梯形（高斯消元法），如果存在[0,0,…,0,1]的行，就是无解；如果存在r行[0,0,…,0,0]，就意味着有r个自由变量，因为这里的变量只取0/1，所以有2^r个解；如果不存在[0,0,…,0,*]，即把最后一行去掉后不存在全0行，则A为满秩矩阵，则方程组有唯一解。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,bit[N],a[N][N];

 void output()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=n+;j++)
             printf("%d ",a[i][j]);
         printf("\n");
     }
     printf("\n");
 }

 int gauss()
 {
     int i,j,k,l;
     //j=当前要消第几个元
     //i=当前消了几个元+1(n-i+1就是自由元个数),也就是当前j要处理的这个方程将要放在第i行，构成上三角矩阵。
     //i、j不等是因为有些元是自由元，不需要消,这些方程放到最后面（维护上三角矩阵）。
     for(i=,j=;i<=n && j<=n;j++)
     {
         for(k=j;k<=n;k++)
             if(a[k][j]) break;//先找到一个这个元的系数不为0方程的换到第i行。
         if(a[k][j])
         {
             for(l=;l<=n+;l++) swap(a[i][l],a[k][l]);
             for(l=;l<=n;l++)//注意这里从1开始，因为把最后回代的过程合并了
             {
                 if(l!=i && a[l][j])//如果系数不为0才异或消元
                     for(k=;k<=n+;k++)
                         a[l][k]^=a[i][k];
             }
             i++;
         }
     }
     for(j=i;j<=n;j++)
         if(a[j][n+]) return -;
     return <<(n-i+);
 }

 int main()
 {
     int T,x,y;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         memset(a,,sizeof(a));
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i][n+]);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",&x);
             a[i][n+]^=x;
         }
         while()
         {
             scanf("%d%d",&x,&y);
             if(!x && !y) break;
             a[y][x]=;
         }
         for(int i=;i<=n;i++) a[i][i]=;
         int ans=gauss();
         if(ans==-) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
         else printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }