第13届广东工业大学ACM程序设计大赛 C题平分游戏

题目描述

转眼间又过了一年，又有一届的师兄师姐要毕业了。

有些师兄师姐就去了景驰科技实习。在景驰，员工是他们最宝贵的财富。只有把每一个人的专业性和独特性结合在一起，他们才会获得成功。他们致力于为所有员工打造一个能够被激励，并分享公司成功的工作环境。

创新精神：为了改变人类出行而不断迎接全新挑战。

团队协作：依靠集体的智慧，坦诚无私地帮助彼此。

结果导向：在所有方面都力争做到中国第一和世界一流，并对结果负责。

共同成长：学习永无止境，通过个人发展和职业成长实现成就。

GUDTACM集训队教练孙壕又来请大家大搓一顿。

茶余饭足以后，有人提议不如来玩游戏吧。狼人杀谁是卧底跳一跳都已经玩得太多了，所以大家决定玩一个更加有挑战性的游戏。

集训队一共有n位同学，他们都按照编号顺序坐在一个圆桌旁。第i位同学一开始有a[i]个硬币，他们希望使得每位同学手上的硬币变成相同的数目。每一秒钟，有且仅有一位同学可以把自己手上的一枚硬币交给另一位同学，其中这两位同学中间必须间隔k位同学。

现在问的是最少几秒后所有同学手上的有相同数量的硬币

输入描述:

第一行输入两个整数n,k(1<=n<=1000000,0<=k<=n)

接下来的一行有n个整数，第i个整数a[i]（0<=a[i]<=1e9）表示第i位同学手上的硬币的数量。

输出描述:

一个整数，表示最少几秒后所有同学手上的有相同数量的硬币。如果不可能，则输出gg。

示例1

输入

5 0

2 3 1 5 4

输出

思路:

先看怎么处理没有$k$的限制的问题，保证总数整除$n$是必然的。

再来处理硬币的转移问题，对于相邻的两个位置$A,B$来说，要么$A$给$B$，要么$B$给$A$，这样才能保证最优。

我们假设$x_i$为第 $i$ 个人给了第 $(i - 1 + n) \%n$ 个人的硬币个数 ($x_i < 0$表示后者给前者硬币)

假设平均值为$avg$，则有如下关系

对于第0个人 $a_0 - x_0 + x_1 = avg \rightarrow x_1 = x_0 - (a_0 - avg) \rightarrow x_1 = x_0 - C_0 (C_0 = a_0 - avg)$

对于第1个人 $a_1 - x_1 + x_2 + avg\rightarrow x_2 = x_1 - (a_1 - avg) \rightarrow x_2 = x_0 - (a_0 + a_1 - 2*avg) \rightarrow x_2 = x_0 - C_1(C_1 = a_0 + a_1 - 2 * avg)$

最后的答案就是最小化 $|x_0| + |x_1| + .... |x_{n-2}| = |x_0| +|x_0 - C_0| + |x_0 - C_1| + .... + |x_0 - C_{n-2}|$

这个显然是在一个x轴上找到他们的中位数，答案最小。

现在来考虑存在$k$的限制的问题，其实就将整个环分成了$gcd(n, k + 1)$个独立的环，对每个环分别求解最后累加即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

#define P pair<int,int>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N],vis[N];

LL b[N];

int n, k;

LL cal(int cnt){

    b[cnt - 1] = 0;

    sort(b, b + cnt);

    return b[cnt / 2];

}

int main()

{

    cin>>n>>k;

    k = min(k, n - 1);

    LL sum = 0;

    for(int i = 0;i < n;i++){

        scanf("%d",a + i);

        sum += a[i];

    }

    if(sum % n ){

        puts("gg");

        return 0;

    }

    LL ans = 0, avg = sum / n;

    for(int i = 0;i < n;i++){

       if(!vis[i]){

            int j = i,cnt = 0;

            LL tmp = 0,p = 0;

            while(!vis[j]){

                vis[j] = 1;

                b[cnt] = a[j] - avg + p, tmp += a[j];

                p = b[cnt++];

                j = (j + k + 1) % n;

            }

            if(tmp % cnt || tmp / cnt != avg){

                puts("gg");

                return 0;

            }

            LL midnum = cal(cnt);

            for(int k = 0;k < cnt;k++) ans += abs(midnum - b[k]);

       }

    }

    printf("%lld\n",ans);

    return 0;

}