[ZJOI2015]幻想乡战略游戏——动态点分治
带修改下,边点都带权的重心
随着变动的过程中,一些子树内的点经过会经过一些公共边。考虑能不能对这样的子树一起统计。
把树上贡献分块。
考虑点分治算法
不妨先把题目简化一下:
假设没有修改,多次询问,每次给定一个s,求$\sum d_v*dis(s,v)$
为了让一块可以一起统计,
我们设:
$sum[x]:$x为根的点分治树管辖部分的权值和
$df[x]$:x为根的点分治树管辖部分到x分治树father的带权距离和$\sum d[v]*dis[v,fa[x]]$
$dm[x]:$ x为根的点分治树管辖部分到x自己的带权距离和
自底向上统计总距离
开始加上$dm[s]$,然后不断加上$dis(s,fa)*(sum[fa]-sum[las])+dm[fa]-df[las]$
las代表上一个father
$dis(s,fa)$可以开始点分治的时候保存(反正就log个)
对于一个s,可以$logn$找到答案
$dm,sum,df$也可以轻而易举$logn$修改
问题是现在我们不知道s是哪一个。
我们比较熟悉一个叫货仓选址问题。
这个重心,很类似于带权中点。
从分治树的root开始,枚举原树上的出边,到y,y所在的这一层的分治树的father叫做son。如果存在一个子树的sum[son]要大于x的剩下分支的点值总和,那么重心一定在son里。
(简单证明:
如果存在sum[son]>sum[x]-sum[son],那么这样的son一定只有一个
存在往son走,减去的代价多,增加的代价少。存在代价更小的情况。(至少是y)
而往其他子树走,代价一定是单调递增上涨的。不可能更优。
所以,重心一定在son管辖的分治树这块区域
)
可以递归处理下去。
但是一个问题是,
如果到了son位置,但是对于son的1号子树,权值和必须考虑上B的所有权值和。
否则肯定不能直接走。
我们还要返回去考虑father们的权值?
发现难以处理。因为之后的划分可能较多。还要$logn$暴力找father
发现B的权值只有在询问包含y的子树的块才会用到。
所以,我们干脆直接把y点的权值加上sum[B]。回溯回来再减去。
然后就可以放心大胆查询子树的权值和了。
(因为这个小trick瞎写了半天。。。。)
由于只会找到一个son,所以,每次找s的复杂度是:$O(20logn+log^2n)$
就可以了。
(虽然暴力$20*log^2n$每次也可以过,因为时限6s)
代码:
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
char ch;x=;bool fl=false;
while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);
(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e5+;
int n,m;
struct node{
int nxt,to;
int son;
ll val;
}e[*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y,ll z){
e[++cnt].nxt=hd[x];
e[cnt].to=y;
e[cnt].val=z;
hd[x]=cnt;
}
ll has[N];
int rt;
ll dm[N],df[N],sum[N];
ll dis[N][];
int fa[N];
int sz[N],mxsz[N];
int nowsz;
int gen;
int dep[N];
bool vis[N];
void dfs1(int x,int ff,int d){
dep[x]=d;
sz[x]=;mxsz[x]=;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(y==ff) continue;
if(vis[y]) continue;
dfs1(y,x,d);
sz[x]+=sz[y];
mxsz[x]=max(mxsz[x],sz[y]);
}
mxsz[x]=max(mxsz[x],nowsz-sz[x]);
if(mxsz[x]<=nowsz/){
rt=x;
}
}
void dfs2(int x,int ff,int d){
sz[x]=;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(y==ff||vis[y]) continue;
dis[y][d]=dis[x][d]+e[i].val;
dfs2(y,x,d);
sz[x]+=sz[y];
}
}
int divi(int x,int ff,int d){
rt=;
dfs1(x,,d);
dis[rt][d]=;
fa[rt]=ff;
dfs2(rt,,d); vis[rt]=;
int now=rt;
for(reg i=hd[now];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(vis[y]) continue;
nowsz=sz[y];
e[i].son=divi(y,now,d+);
}
return now;
}
void upda(int x,ll c){//c is change
int gg=x;
int nd=dep[x];
while(x){
sum[x]+=c;
df[x]+=c*dis[gg][nd-];
dm[x]+=c*dis[gg][nd]; x=fa[x];
--nd;
}
}
int query(int x,int d){
//cout<<" querying "<<x<<" || "<<" "<<d<<endl;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(dep[y]<dep[x]) continue;
int lp=e[i].son;
if(sum[lp]>sum[x]-sum[lp]){
upda(y,sum[x]-sum[lp]);
int ret=query(lp,d+);
upda(y,sum[lp]-sum[x]);
return ret;
}
}
return x;
}
ll calc(int x){
ll ret=dm[x];
int gg=x;
int las=x;
x=fa[x];
int nd=dep[x];
while(x){
ret+=(dm[x]-df[las])+(sum[x]-sum[las])*dis[gg][nd];
--nd;
las=x;
x=fa[x];
}
return ret;
}
int main(){
rd(n);rd(m);
int x,y;
ll z;
for(reg i=;i<=n-;++i){
rd(x);rd(y);scanf("%lld",&z);
add(x,y,z);add(y,x,z);
}
nowsz=n;
gen=divi(,,);
//cout<<" ffafaf "<<endl;
// for(reg i=1;i<=n;++i){
// cout<<i<<" : "<<fa[i]<<endl;
// }
//cout<<" gen "<<gen<<endl;
while(m--){
rd(x);scanf("%lld",&z);
upda(x,z);
has[x]+=z;//warning!!!!
// for(reg i=1;i<=n;++i){
// cout<<i<<" : "<<sum[i]<<" "<<dm[i]<<" "<<df[i]<<endl;
// }
int core=query(gen,);
printf("%lld\n",calc(core)); }
return ;
} }
int main(){
// freopen("data.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
Miracle::main();
return ;
} /*
Author: *Miracle*
Date: 2018/11/29 8:55:17
*/
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