[USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets 题解报告

题目描述

农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

输入输出格式

输入格式：

第1行: 包装盒的种类数N

第2行到N+1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数

输出格式：

输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。

输入输出样例

输入样例#1：

3
3
6
10

输出样例#1：

17

一个数论定理：

对于自然数p,q，若gcd(p,q)=1,则p*q-p-q是p*x+q*y在x,y>=0的情况下最大取不到的数

【证明略，我是蒟蒻QAQ，网上可以查到】

题解

有个这个定理，我们就可以把范围控制在256*256-2*256内了，然后用做一次背包就好了

若最终结果大于上界或无解，则输出0

【想了很久为什么大于上界无解QAQ，当有大于上界的取不到的数时，说明这些数不互质，那么不是这些数最大公约数的倍数的数肯定构造不出来，故可取无限大】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn=256*256*2,INF=2000000000,P=1000000007;

inline int read(){
	int out=0,flag=1;char c=getchar();
	while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
	while(c>=48&&c<=57){out=out*10+c-48;c=getchar();}
	return out*flag;
}

bool dp[maxn];

int main(){
	dp[0]=true;
	int N=read(),v;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		v=read();
		for(int j=v;j<maxn;j++) dp[j]=dp[j]||dp[j-v];
	}
	int ans=0;
	for(int i=maxn-1;i>0;i--) if(!dp[i]) {ans=i;break;}
	if(ans>256*256) ans=0;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}