51nod1256【exgcd求逆元】

思路：

把k*M%N=1可以写成一个不定方程，(k*M)%N=(N*x+1)%N，那么就是求k*M-N*x=1，k最小，不定方程我们可以直接利用exgcd，中间还搞错了；

//小小地讲一下exgcd球不定方程原理

对于ax+by=gcd(a,b);

我们设一下a>b,在简单直接把b=0时，gcd(a,b)=a.此时，x=1,y=0;

接着，a>b>0，我们这里可以摆两个式子：①：ax1+by1=gcd(a,b);继续，②：bx2+(a mod b)y2=gcd( b , a mod b );第二个式子为何呢？这就是gcd的辗转相除法的算法啊。而且gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

然后我们就能将gcd左边两个等式列个等式：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;额。。。a mod b可以写成？a-(a/b)b对吧，那么等式变成ax1+ by1= bx2+ (a - (a / b) * b)y2=bx2+ay2 - (a / b)by2 ;我们把ax1+ by1=bx2+ay2 - (a / b)by2拎出来，整理一下，写成：ax1+by1=ay2+b(x2-(a/b)y2); 那么很明显我们可以得到，x1=y2,y1=x2-(a/b)y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N=1e4;

void exgcd(LL &k,LL &x,LL a,LL b)
{
    if(b==0)
    {
        k=1;
        x=0;
        return;
    }
    exgcd(k,x,b,a%b);
    LL temp=k;
    k=x;
    x=temp-(a/b)*x;
}

int main()
{
    LL n,m;
    LL k,x;
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    exgcd(k,x,m,n);
    while(k<0)
        k=(k+n)%n;
    printf("%lld\n",k);
    return 0;
}