bzoj 3527: [Zjoi2014]力【FFT】

大力推公式，目标是转成卷积形式：\( C_i=\sum_{j=1}^{i}a_jb_{i-j} \)

首先下标从0开始存，n--

\[F_i=\frac{\sum_{j<i}\frac{q_jq_i}{(j-i)^2}-\sum_{j>i}\frac{q_jq_i}{(j-i)^2}}{q_i}
\]

\[F_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}-\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

设

\[a_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

\[b_i=\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

\[f_j=F_j
\]

\[g_i=\frac{1}{i^2}
\]

故

\[F_i=a_i-b_i
\]

先推ai

！注意j==i的情况下g函数为0不影响结果，所以方便起见把大于小于都换成了大于等于小于等于

\[a_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

\[=\sum_{j=0}^{i}\frac{q_j}{(i-j)^2}
\]

\[=\sum_{j=0}^{i}f_i*g_{i-j}
\]

于是卷积*1get

再推bi

\[b_i=\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

\[=\sum_{j=i}^{n}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]

然后用j+i替换j

\[=\sum_{j+i=i}^{n}\frac{q_{j+i}}{(j+i-i)^2}
\]

\[=\sum_{j=0}^{n-i}\frac{q_{j+i}}{j^2}
\]

\[=\sum_{j=0}^{n-i}f_{j+i}*g_j
\]

然后用n-i-j替换j

\[=\sum_{n-i-j=0}^{n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j}
\]

\[=\sum_{0 \leq n-i-j \leq n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j}
\]

然后发现这样转化一下

\[0 \leq n-i-j\Rightarrow j \leq n-i
\]

\[n-i-j \leq n-i\Rightarrow 0 \leq j
\]

\[=\sum_{j=0}^{n-i}f_{n-j}*g_{n-i-j}
\]

设

\[f1_i=f_{n-i}
\]

\[=\sum_{j=0}^{n-i}f1_j*g_{n-i-j}
\]

设

\[t=n-i
\]

\[=\sum_{j=0}^{t}f1_j*g_{t-j}
\]

于是卷积*2get

然后直接上FFT即可

！！！对于g函数，应该是g[i]=1.0/i/i ！！g[i]=1.0/(i*i)会炸精度！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,lm,bt,re[N];
struct cd
{
    double r,i;
    cd(double R=0,double I=0)
    {
        r=R,i=I;
    }
    cd operator + (cd &a) const
    {
        return cd(r+a.r,i+a.i);
    }
    cd operator - (cd &a) const
    {
        return cd(r-a.r,i-a.i);
    }
    cd operator * (cd &a) const
    {
        return cd(r*a.r-i*a.i,r*a.i+i*a.r);
    }
}f[N],f1[N],g[N],a[N],b[N];
void dft(cd a[],int f)
{
    for(int i=1;i<lm;i++)
        if(i<re[i])
            swap(a[i],a[re[i]]);
    for(int i=2;i<=lm;i<<=1)
    {
        cd wi=cd(cos(2.0*M_PI/i),f*sin(2.0*M_PI/i));
        for(int k=0;k<lm;k+=i)
        {
            cd w=cd(1,0),x,y;
            for(int j=0;j<(i>>1);j++)
            {
                x=a[j+k];
                y=a[j+k+(i>>1)]*w;
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+(i>>1)]=x-y;
                w=w*wi;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
        for(int i=0;i<lm;i++)
            a[i].r/=lm;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    n--;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&f[i].r);
        f1[n-i].r=f[i].r;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i].r=1.0/i/i;
    for(int i=0;;i++)
        if((1<<i)>2*n)
        {
            bt=i;
            lm=(1<<i);
            break;
        }
    for(int i=0;i<lm;i++)
        re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
    dft(f,1);
    dft(f1,1);
    dft(g,1);
    for(int i=0;i<lm;i++)
    {
        a[i]=f[i]*g[i];
        b[i]=f1[i]*g[i];
    }
    dft(a,-1);
    dft(b,-1);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        printf("%.3f\n",a[i].r-b[n-i].r);
    return 0;
}