寒武纪camp Day5

补题进度：6/10

A(状压dp)

题意：

　　有n个数字1,2,...,n，有m个限制(a,b)，表示至少要有一个数字a排在数字b的前面

　　你需要构造出一个含有数字1~n的序列，数字可以重复多次，要求该序列满足所有的m个限制，并且长度最短，你只需要输出最短的长度

　　n<=18,m<=n(n-1)

分析：

　　首先，最多只需要2n长度就可以满足任何限制，即在前面放上1~n,在后面放上1~n，每个数最多只需要出现2次就够了，有的仅仅需要出现一次

　　我们很自然的想到枚举哪些数出现一次，把出现一次的放在中间，出现两次放在两边，然后判断是否合法，判断是否合法只要中间的数形成一个拓扑序就行了

　　这样复杂度是$O(2^n*n^2)$的，在多组数据的情况下有点超时

　　因为n很小，我们考虑状压dp，dp[s][i]表示考虑到第i个数应该放谁，前面放的数字的集合是S情况下，目前最短的序列长度

　　我们枚举第i位填上x，那么

　　dp[s∪x]=dp[s]+1（x的前驱都在s中，我只需要把x放进去就行了）

　　dp[s∪x]=dp[s]+2（x的某些前驱不在s中，我不仅要把x放进去，还要把一个x丢到最后面来满足其它限制）

　　这样时间复杂度是$O(2^n*n)$的，可以顺利通过

B

solved

C(异或性质+分段打表)

题意：

　　给定n,m，求(0 xor n)*(1 xor n)*(2 xor n)*......(m xor n)的值，对一个大质数取模

　　1<=m<n<=1e9

分析：

　　有这样一个性质：$[0,2^l-1]$中所有数去和一个数x异或，得到的数仍旧是$[0,2^l-1]$中每一个数，只不过映射位置发生了变化

　　于是我们可以把m转成二进制，枚举位置i作为分界点，当然m[i]=1，那么令m[i]=0，后面位都是自由元了，就可以去计算了，结果是一段数字的乘积

　　那么问题是如何快速统计一段数字的乘积，数字的值可能高达1e9

　　我们可以预处理1~1e9的阶乘表，然后相除就行了，但1~1e9的阶乘表很大不能全部打下，我们就分段打表，每隔2e5个打一个

D(树形dp)

略

E(二次剩余)

待填坑

F(计算几何+贪心)

待填坑

G(dfs+dp)

待填坑

H(贪心)

题意：

　　给出长度为n的序列，序列中每个元素是P或者V，左端是起点，右端是终点，通过一个V可以获得1个金币，通过一个P必须要支付1个金币（换句话说如果金币不够不能通过该位置）

　　现在一个team若干个人共同来玩这个挑战，他们的金币是共用的，现在他们的目标是至少有一个到达终点，现在问这个team中最少需要多少人参加这个挑战

　　n<=1e5

分析：

　　二分人数mid，然后判定

　　容易发现所有人应该站在一个位置的，首先用现有的金币拿一个人向后试探（如果试探到了终点，那么就可行了），然后在可到达的这段区间中选一个获得金币最大的位置，让所有人都去那，不断迭代下去

　　如果发现所有人始终停在一个固定的位置但不是终点，那说明当前人数是不够的

　　时间复杂度O(nlogn)

　　这题很容易有个错误的思路，就是拿mid-1个人去赚金币，让1个人去通关，当时Onsite的时候就是这样WA了一下午，事实上那1个人也可以帮忙赚金币的

I(插头dp)

待填坑

J(后缀树)

题意：

　　给出一个长度为n的字符串，字符串是由小写字母a~l(12个字符)组成的

　　现在你可以构造一个12个元素的置换把a~l分别置换掉

　　你需要对于字符串的每个后缀都判断是否可以构造一个置换p，使得该后缀成为所有后缀中字典序最大的那个

　　n<=1e5

分析：

　　考虑把所有后缀都丢到一个Trie中

　　考虑一个后缀suf[i]要想成为最大的后缀那么要满足什么条件呢？

　　那就是从root到它这个点x之间所有路径的分叉处，会产生一些限制条件，比如某个点下面三个分叉点，边上的字符分别是'a' 'd' 'f'，含有点x的是'd'，那么必须满足p['d']>p['a'] p['d']>p['f']

　　我们去遍历一遍x到root，把所有限制拿出来，如果能拓扑排序的话那么就是ok的

　　很显然我们要去用后缀树去优化建树

　　这样时间复杂度是O(n^2+n*12*12)的

　　注意用SAM去构后缀树的时候，我们还要求出每条边的对应字符，然后限制用状态压缩之后的二进制数表示，在后缀树上dfs统计每个后缀节点的答案就行了