BZOJ3224普通平衡树——旋转treap

题目：

此为平衡树系列第一道：普通平衡树您需要写一种数据结构，来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

n<=100000 所有数字均在-107到107内。

输入样例：

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出样例：

106465
84185
492737

变量声明：size[x]，以x为根节点的子树大小；ls[x]，x的左儿子；rs[x]，x的右子树；r[x]，x节点的随机数；v[x]，x节点的权值；w[x]，x节点所对应的权值的数的个数。

root，树的总根；tot，树的大小。

treap是tree（树）和heap（堆）的组合词，顾名思义就是在树上建堆，所以treap满足堆的性质，但treap又是一个平衡树所以也满足平衡树的性质（对于每个点，它的左子树上所有点都比它小，它的右子树上所有点都比他大，故平衡树的中序遍历就是树上所有点点权的顺序数列）。

先介绍几个基本旋转treap操作：

1.左旋和右旋

左旋即把Q旋到P的父节点，右旋即把P旋到Q的父节点。

以右旋为例：因为Q>B>P所以在旋转之后还要满足平衡树性质所以B要变成Q的左子树。在整个右旋过程中只改变了B的父节点，P的右节点和父节点，Q的左节点的父节点，与A，B，C的子树无关。

void rturn(int &x)
{
    int t;
    t=ls[x];
    ls[x]=rs[t];
    rs[t]=x;
    size[t]=size[x];
    up(x);
    x=t;
}
void lturn(int &x)
{
    int t;
    t=rs[x];
    rs[x]=ls[t];
    ls[t]=x;
    size[t]=size[x];
    up(x);
    x=t;
}

2.查询

我们以查询权值为x的点为例，从根节点开始走，判断x与根节点权值大小，如果x大就向右下查询，比较x和根右儿子大小；如果x小就向左下查询，直到查询到等于x的节点或查询到树的最底层。

3.插入

插入操作就是遵循平衡树性质插入到树中。对于要插入的点x和当前查找到的点p，判断x与p的大小关系。注意在每次向下查找时因为要保证堆的性质，所以要进行左旋或右旋。

void insert_sum(int x,int &i)
{
    if(!i)
    {
        i=++tot;
        w[i]=size[i]=1;
        v[i]=x;
        r[i]=rand();
        return ;
    }
    size[i]++;
    if(x==v[i])
    {
        w[i]++;
    }
    else if(x>v[i])
    {
        insert_sum(x,rs[i]);
        if(r[rs[i]]<r[i])
        {
            lturn(i);
        }
    }
    else
    {
        insert_sum(x,ls[i]);
        if(r[ls[i]]<r[i])
        {
            rturn(i);
        }
    }
 
    return ;
}

4.上传

每次旋转后因为子树有变化所以要修改父节点的子树大小。

void up(int x)
{
    size[x]=size[rs[x]]+size[ls[x]]+w[x];
} 

5.删除

删除节点的方法和堆类似，要把点旋到最下层再删，如果一个节点w不是1那就把w--就行。

void delete_sum(int x,int &i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]==x)
    {
        if(w[i]>1)
        {
            w[i]--;
            size[i]--;
            return ;
        }
        if((ls[i]*rs[i])==0)
        {
            i=ls[i]+rs[i];
        }
        else if(r[ls[i]]<r[rs[i]])
        {
            rturn(i);
            delete_sum(x,i);
        }
        else
        {
            lturn(i);
            delete_sum(x,i);
        }
        return ;
    }
    size[i]--;
    if(v[i]<x)
    {
        delete_sum(x,rs[i]);
    }
    else
    {
        delete_sum(x,ls[i]);
    }
    return ;
}

6.查找排名

查找操作和上面说的差不多，只不过要注意当查找一个节点右子树时要把答案加上这个点的w和这个节点左子树的size。

int ask_num(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return 0;
    }
    if(v[i]==x)
    {
        return size[ls[i]]+1;
    }
    if(v[i]<x)
    {
        return ask_num(x,rs[i])+size[ls[i]]+w[i];
    }
    return ask_num(x,ls[i]);
}

7.查找权值

和查找排名差不多，查找右子树时要将所查找排名减掉父节点w和父节点的左子树的size。

int ask_sum(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return 0;
    }
    if(x>size[ls[i]]+w[i])
    {
        return ask_sum(x-size[ls[i]]-w[i],rs[i]);
    }
    else if(size[ls[i]]>=x)
    {
        return ask_sum(x,ls[i]);
    }
    else
    {
        return v[i];
    }
}

8.查找前驱/后继

直接判断大小查询就好了qwq

前驱

void ask_front(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]<x)
    {
        answer=i;
        ask_front(x,rs[i]);
        return ;
    }
    else
    {
        ask_front(x,ls[i]);
        return ;
    }
    return ;
}

后继

void ask_back(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]>x)
    {
        answer=i;
        ask_back(x,ls[i]);
        return ;
    }
    else
    {
        ask_back(x,rs[i]);
        return ;
    }
}

最后附上完整代码（虽然有点长但自认为很好理解也很详细。。。）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;
int n;
int opt;
int x;
int size[100001];
int rs[100001];
int ls[100001];
int v[100001];
int w[100001];
int r[100001];
int tot;
int root;
int answer;
void up(int x)
{
    size[x]=size[rs[x]]+size[ls[x]]+w[x];
}
void rturn(int &x)
{
    int t;
    t=ls[x];
    ls[x]=rs[t];
    rs[t]=x;
    size[t]=size[x];
    up(x);
    x=t;
}
void lturn(int &x)
{
    int t;
    t=rs[x];
    rs[x]=ls[t];
    ls[t]=x;
    size[t]=size[x];
    up(x);
    x=t;
}
void insert_sum(int x,int &i)
{
    if(!i)
    {
        i=++tot;
        w[i]=size[i]=1;
        v[i]=x;
        r[i]=rand();
        return ;
    }
    size[i]++;
    if(x==v[i])
    {
        w[i]++;
    }
    else if(x>v[i])
    {
        insert_sum(x,rs[i]);
        if(r[rs[i]]<r[i])
        {
            lturn(i);
        }
    }
    else
    {
        insert_sum(x,ls[i]);
        if(r[ls[i]]<r[i])
        {
            rturn(i);
        }
    }
    return ;
}
void delete_sum(int x,int &i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]==x)
    {
        if(w[i]>1)
        {
            w[i]--;
            size[i]--;
            return ;
        }
        if((ls[i]*rs[i])==0)
        {
            i=ls[i]+rs[i];
        }
        else if(r[ls[i]]<r[rs[i]])
        {
            rturn(i);
            delete_sum(x,i);
        }
        else
        {
            lturn(i);
            delete_sum(x,i);
        }
        return ;
    }
    size[i]--;
    if(v[i]<x)
    {
        delete_sum(x,rs[i]);
    }
    else
    {
        delete_sum(x,ls[i]);
    }
    return ;
}
int ask_num(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return 0;
    }
    if(v[i]==x)
    {
        return size[ls[i]]+1;
    }
    if(v[i]<x)
    {
        return ask_num(x,rs[i])+size[ls[i]]+w[i];
    }
    return ask_num(x,ls[i]);
}
int ask_sum(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return 0;
    }
    if(x>size[ls[i]]+w[i])
    {
        return ask_sum(x-size[ls[i]]-w[i],rs[i]);
    }
    else if(size[ls[i]]>=x)
    {
        return ask_sum(x,ls[i]);
    }
    else
    {
        return v[i];
    }
}
void ask_front(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]<x)
    {
        answer=i;
        ask_front(x,rs[i]);
        return ;
    }
    else
    {
        ask_front(x,ls[i]);
        return ;
    }
    return ;
}
void ask_back(int x,int i)
{
    if(i==0)
    {
        return ;
    }
    if(v[i]>x)
    {
        answer=i;
        ask_back(x,ls[i]);
        return ;
    }
    else
    {
        ask_back(x,rs[i]);
        return ;
    }
}
int main()
{
    srand(12378);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        answer=0;
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        if(opt==1)
        {
            insert_sum(x,root);
        }
        else if(opt==2)
        {
            delete_sum(x,root);
        }
        else if(opt==3)
        {
            printf("%d\n",ask_num(x,root));
        }
        else if(opt==4)
        {
            printf("%d\n",ask_sum(x,root));
        }
        else if(opt==5)
        {
            ask_front(x,root);
            printf("%d\n",v[answer]);
        }
        else if(opt==6)
        {
            ask_back(x,root);
            printf("%d\n",v[answer]);
        }
    }
    return 0;
}