LOJ6089 小Y的背包计数问题(根号优化背包)

Solutioon

这道题利用根号分治可以把复杂度降到n根号n级别。

我们发现当物品体积大与根号n时，就是一个完全背包，换句话说就是没有了个数限制。

进一步我们发现，这个背包最多只能放根号n个物品。

所以我们设dp[i][j]表示放了i个物品，体积为j时的方案数。

转移的话一种是往背包里放一个新物品，或者让背包里所有物品体积加1.

当物品体积小于根号n时，因为物品个数比较少，所以我们可以设计状态为dp[i][j]表示前i个物品，占用j的体积为j时的方案数。

然后我们发现它的同类转移点是在模i的剩余系下是相等的，所以我们按照余数分组dp一下。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100002
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=;
int f[][N],g[][N],s[N],sum[N],ji[N],ans;
int n,n1;
int main(){
    scanf("%d",&n);n1=sqrt(n);
    for(int i=;i<=n1;++i)
    g[][]=;s[]=;
    for(int i=;i<=n1;++i)
      for(int j=;j<=n;++j){
        if(j>=i)(g[i][j]+=g[i][j-i])%=mod;
        if(j>=n1+)(g[i][j]+=g[i-][j-n1-])%=mod;
        (s[j]+=g[i][j])%=mod;
    }
    f[][]=;
    for(int i=;i<=n1;++i)
      for(int j=;j<i;++j){
          int tot=;
          for(int k=j;k<=n;k+=i){
              ji[++tot]=f[i-][k];
              sum[tot]=(sum[tot-]+ji[tot])%mod;
              (f[i][k]+=(sum[tot]-sum[max(,tot-i-)]+mod))%=mod;
          }
      }
    for(int i=;i<=n;++i)(ans+=1ll*s[i]*f[n1][n-i]%mod)%=mod;
    cout<<ans;
    return ;
}