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题目传送门 - 51Nod1309

题意

长度为N的整数数组A,有Q个查询,每个查询包含一个数M,对A的所有不同排列,执行find函数(需用到查询中的M),你来计算find函数的返回值的和。由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果。
 
void find(int permutation_A[], int M){
x = Length(permutation_A);
sum = 0;
for(i = 0; i < x; i++) {
if (permutation_A[i] <= M)
sum = sum + permutation_A[i];
else
break;
}
return sum;
}
 
 
 

题解

  我们首先考虑求答案的期望。

  由于期望具有线性性,所以我们可以对于每一个数字对答案的贡献分开考虑。

  显然,如果在一个排列中,如果当前数字产生贡献,当且仅当该数字不大于 m ,且所有大于 m 的数字都出现在它后面。那么,设大于等于 m 的数字有 k 个,假设当前数字不大于 m ,那么当前数字产生贡献的概率是 $\frac{1}{k+1}$ 。那么它对总期望的贡献就是 它的值 × 概率。我们只需要把所有不大于 m 的数对期望的贡献求和就可以得到总期望了。又由于,所有不大于 m 的数产生贡献的概率相同,所以我们可以前缀和处理一下,快速求得期望。

  所以最终答案就是期望 × 排列总数。

代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50005,mod=1e9+7;
int n,q,a[N],Ha[N],p[N],hs;
int Fac[N];
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
if (y&1)
ans=1LL*ans*x%mod;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&q);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
for (int i=1;i<=n;i++)
Ha[i]=a[i];
hs=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
if (Ha[i]!=Ha[i-1])
p[hs]=i-1,Ha[++hs]=Ha[i];
p[hs]=n;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i]=(a[i-1]+a[i])%mod;
Fac[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%mod;
int ans=Fac[n];
for (int i=1;i<=hs;i++)
ans=1LL*ans*Pow(Fac[p[i]-p[i-1]],mod-2)%mod;
while (q--){
int v;
scanf("%d",&v);
int x=upper_bound(Ha+1,Ha+hs+1,v)-Ha-1;
int now=1LL*ans*Pow(n-p[x]+1,mod-2)%mod*a[p[x]]%mod;
printf("%d\n",now);
}
return 0;
}

  

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