【BZOJ1185】[HNOI2007]最小矩形覆盖（凸包，旋转卡壳）

【BZOJ1185】[HNOI2007]最小矩形覆盖（凸包，旋转卡壳）

题面

BZOJ

洛谷

题解

最小的矩形一定存在一条边在凸包上，那么枚举这条边，我们还差三个点，即距离当前边的最远点，以及做这条边的垂线的最靠左和最靠右的两个点。

最远点很容易求，叉积计算面积来比就好了。

那么剩下两个点呢？

比如说找右侧的那个点，我们假装当前枚举出来的这条边就是水平线，那么只要当前的点和下一个点的直线与\(x\)轴正半轴夹角小于\(90°\) 显然就往这个方向走。然后从水平线换到一般的情况，也就是和枚举的这条边的夹角小于\(\frac{\pi}{2}\)，点积的计算除了坐标计算之外，还有\(\vec{a}\dot{}\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos<\vec{a},\vec{b}>\)，这样子可以很容易求出两个向量之间的夹角关系，而\(\alpha\le \frac{\pi}{2}\)换成三角函数之间的关系就是\(cos\alpha\ge 0\)，因此找这个关系只需要很简单的判断两个向量之间的点积是否大于等于\(0\)。

同理，考虑如何找最靠左的点，那么就是两个向量的夹角范围在\(\frac{\pi}{2}\)以上，即点积小于\(0\)。

通过这个方法，似乎可以求解已知所有夹角的\(n\)边形覆盖，只需要旋转卡壳的时候依次考虑每个点，而每个点是否能否移动到下个点的条件与夹角相关，而夹角的信息可以通过点积得到。

然后这题就是卡精度卡精度卡精度之类的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define double long double
#define MAX 50050
const double eps=1e-10;
const double Pi=acos(-1);
struct Point{double x,y,ang;};
bool operator<(Point a,Point b){return (a.ang!=b.ang)?a.ang<b.ang:a.x<b.x;}
Point operator+(Point a,Point b){return (Point){a.x+b.x,a.y+b.y};}
Point operator-(Point a,Point b){return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};}
Point operator*(Point a,double b){return (Point){a.x*b,a.y*b};}
Point operator/(Point a,double b){return (Point){a.x/b,a.y/b};}
double operator*(Point a,Point b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
double Cross(Point a,Point b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
double Len(Point a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}
double Dis(Point a,Point b){return Len(a-b);}
Point Rotate(Point p,double a){double c=cos(a),s=sin(a);return (Point){p.x*c-p.y*s,p.x*s+p.y*c};}
Point S[MAX],Ans[10];int top;
void Graham(Point *p,int n)
{
	int pos=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		if(p[i].x<p[pos].x||(p[i].x==p[pos].x&&p[i].y<p[pos].y))
			pos=i;
	swap(p[1],p[pos]);
	for(int i=2;i<=n;++i)p[i].ang=atan2(p[i].y-p[1].y,p[i].x-p[1].x);
	sort(&p[2],&p[n+1]);S[++top]=p[1];S[++top]=p[2];
	for(int i=3;i<=n;++i)
	{
		while(top>2&&Cross(p[i]-S[top],p[i]-S[top-1])>=0)--top;
		S[++top]=p[i];
	}
}
struct Line{Point a,v;};
Point Intersection(Line a,Line b)
{
	Point c=b.a-a.a;
	double t=Cross(b.v,c)/Cross(b.v,a.v);
	return a.a+a.v*t;
}
int n;double ans=1e18;
Point p[MAX],tmp[5];
void ScanLine(int n)
{
	S[n+1]=S[1];S[0]=S[n];
	for(int i=1,j1=3,j2=3,j3=n;i<=n;++i)
	{
		if(i==1)while((S[i]-S[i+1])*(S[j3-1]-S[j3])>0)j3=(j3==1)?n:j3-1;
		while(Cross(S[j1]-S[i],S[j1]-S[i+1])<=Cross(S[j1+1]-S[i],S[j1+1]-S[i+1]))j1=(j1==n)?1:j1+1;
		while((S[i+1]-S[i])*(S[j2+1]-S[j2])>0)j2=(j2==n)?1:j2+1;
		while((S[i+1]-S[i])*(S[j3+1]-S[j3])<0)j3=(j3==n)?1:j3+1;
		Line l0=(Line){S[i],S[i+1]-S[i]};
		Line l1=(Line){S[j1],S[i]-S[i+1]};
		Line l2=(Line){S[j2],Rotate(S[i+1]-S[i],Pi/2)};
		Line l3=(Line){S[j3],Rotate(S[i]-S[i+1],Pi/2)};
		tmp[1]=Intersection(l0,l2);
		tmp[2]=Intersection(l2,l1);
		tmp[3]=Intersection(l1,l3);
		tmp[4]=Intersection(l3,l0);
		double area=Dis(tmp[1],tmp[2])*Dis(tmp[2],tmp[3]);
		if(area<ans)
			ans=area,Ans[1]=tmp[1],Ans[2]=tmp[2],Ans[3]=tmp[3],Ans[4]=tmp[4];
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%Lf%Lf",&p[i].x,&p[i].y);
	for(int i=1;i<=n;++i)p[i].x+=eps,p[i].y-=eps;
	Graham(p,n);
	ScanLine(top);
	printf("%.5Lf\n",ans);
	Ans[5]=Ans[1];Ans[6]=Ans[2];Ans[7]=Ans[3];Ans[8]=Ans[4];
	int pos=1;
	for(int i=2;i<=4;++i)
		if(Ans[i].y<Ans[pos].y||(Ans[i].y==Ans[pos].y&&Ans[i].x<=Ans[pos].x))
			pos=i;
	for(int i=pos;i<=pos+3;++i)printf("%.5Lf %.5Lf\n",Ans[i].x+100*eps,Ans[i].y+100*eps);
	return 0;
}