【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 Matrix-Tree定理+高斯消元

【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间

2015年4月30日3,0302

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
…
…
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

题解

 

题解：周东的那篇IOI国家集训队论文，

　　　就是对于每个点求出度数

　　　然后列出一个行列式，

　　　a[i][i]=du[i]

　　　对于边u,v

　　　则a[u][v]=-1

　　　然后高斯消元，答案就是主对角线的积。

 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>

 #define N 107
 #define mod 1000000000
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int xx[]={-,,,};
 const int yy[]={,,-,};
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }

 int n,m,id;
 char ch[N][N];
 ll a[N][N],p[N][N];

 int solve_sum_gaosi(int n)
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=n;j++)
             (a[i][j]+=mod)%=mod;
     ll ans=,f=;
     for (int i=;i<=n;i++)//楂樻柉娑堝厓
     {
         for (int j=i+;j<=n;j++)
         {
             ll A=a[i][i],B=a[j][i];
             while(B!=)
             {
                 ll t=A/B;A%=B;swap(A,B);
                 for (int k=i;k<=n;k++)
                     a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%mod+mod)%mod;
                 for (int k=i;k<=n;k++)
                     swap(a[i][k],a[j][k]);
                 f=-f;
             }
         }
         if (!a[i][i])return ;
         (ans*=a[i][i])%=mod;
     }
     if (f==-) return (mod-ans)%mod;
     else return ans;
 }
 int main()
 {
     int n=read(),m=read();
     for (int i=;i<=n;i++)
         scanf("%s",ch[i]+);
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=m;j++)
             if (ch[i][j]=='.')p[i][j]=++id;
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=m;j++)
             if (ch[i][j]=='.')
                 for (int k=;k<;k++)
                 {
                     int x=i+xx[k],y=j+yy[k];
                     if (x<||y<||x>n||y>m||ch[x][y]!='.')continue;
                     int u=p[i][j],v=p[x][y];
                     a[u][u]++,a[u][v]--;
                 }
     /*for (int i=1;i<=n;i++)
     {
         for (int j=1;j<=n;j++)
             cout<<a[i][j]<<" ";
         cout<<endl;
     }*/
     printf("%d\n",(solve_sum_gaosi(id-)+mod)%mod);//鐩存帴鑷潃鏈€鍚庝竴琛屽嵆鍙?
 }