【SCOI 2010】股票交易

题目

最近 \(\text{lxhgww}\) 又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，\(\text{lxhgww}\) 预测到了未来 \(T\) 天内某只股票的走势，第 \(i\) 天的股票买入价为每股 \(ap_i\)，第 \(i\) 天的股票卖出价为每股 \(bp_i\)（数据保证对于每个 \(i\)，都有 \(ap_i \geq bp_i\)），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第 \(i\) 天的一次买入至多只能购买 \(as_i\) 股，一次卖出至多只能卖出 \(bs_i\) 股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 \(w\) 天，也就是说如果在第 \(i\) 天发生了交易，那么从第 \(i + 1\) 天到第 \(i + w\) 天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过 \(\text{MaxP}\)。

在第 \(1\) 天之前，\(\text{lxhgww}\) 手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，\(T\) 天以后，\(\text{lxhgww}\) 想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

分析

设 \(f(i,j)\) 代表第 \(i\) 持有 \(j\) 股的最大收益。

\[f(i,j) = \max\left\{ \begin{array}{}
\max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k \\
\max_{k = 1}^{bs_i} f(i - w - 1,j + k) + bp_i\times k \\
f(i - 1,j)
\end{array} \right.
\]

很容易得出，该方程的时间复杂度为 \(\Theta (n^3)\)。显然会\(\rm T\)。

以只买入的 \(\max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k\) 看，我们发现我们要查询的 \(f\) 总是一段连续的区间，但是若使用单调队列维护 \(f\) ，\(ap_i\times k\) 又很恶心。

但是我们通过观察，对于每个 \(ap_i\times k\) 和 \(bp_i \times k\) 所影响到的要查询的 \(f\) ，若 \(j + 1\) ，则它们都会同时加上 \(ap_i\) 或 \(-bp_i\)。

比如原先的 \(f(i - w - 1, j) - ap_i,\ f(i - w - 1, j - 1) - 2ap_i,\cdots,f(i - w - 1, j + k) - ap_i\times k\)。

当区间右移一次时，它们的影响变成了：$f(i - w - 1, j - 1) - ap_i,\ f(i - w - 1, j - 2) - 2ap_i,\cdots $

所以，当要查询的区间右移一次时，它们的相对大小关系是不会改变的，我们可以对原 \(\rm dp\) 式进行变换来更好的运用这个性质。

以买入为例，\(\max_{k = 1}^{as_i} f(i - w - 1,j - k) - ap_i\times k\)，若令 \(p = j - k\)，则变为：

\[\begin{array}{}
& \max_{p = j - 1}^{j - as_i} f(i - w - 1,p) - ap_i\times (j - p) \\
= & \max_{p = j - 1}^{j - as_i} ( f(i - w - 1,p) + ap_i\times p ) - ap_i\times j
\end{array}
\]

这么一来，\(f\) 与 \(ap_i\) 就有了一一对应的关系，可以很容易的利用单调队列优化。

同理，卖出也可以这样处理，变式为 \(\max_{p = j + 1}^{j + bs_i} (f(i - w - 1,p) + bp_i\times p) - bp_i\times j\)。

接下来就是常规的单调队列优化，时间复杂度为 \(\Theta (n ^ 2)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2000 + 5, inf = 0x3f3f3f3f;
int f[MAXN][MAXN], ap[MAXN], bp[MAXN], as[MAXN], bs[MAXN], w, t, maxp;
struct monQue {
	pair<int, int> data[MAXN];
	int head, tail;
	void clear() {head = 0, tail = 0;}
	bool empty() {return tail <= head;}
	void push(pair<int, int> x) {
		while(!empty() && data[tail - 1] <= x) tail--;
		data[tail++] = x;
	}
	void pop() {head++;}
	pair<int, int> front() {return data[head];}
} sell, buy;
int main() {
	memset(f, ~0x3f, sizeof(f));
	scanf("%d%d%d", &t, &maxp, &w);
	for(int i = 1; i <= t; i++)
		scanf("%d%d%d%d", &ap[i], &bp[i], &as[i], &bs[i]);
	for(int i = 1; i <= t; i++) {
		buy.clear(); sell.clear();
		for(int j = 0; j <= maxp; j++) {
			f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j]);
			if(j <= as[i]) f[i][j] = max(-ap[i] * j, f[i][j]);
			if(i - w - 1 <= 0) continue;
			if(j) {
				while(!buy.empty() && buy.front().second < j - as[i]) buy.pop();
				buy.push(make_pair(f[i - w - 1][j - 1] + ap[i] * (j - 1), j - 1));
				f[i][j] = max(buy.front().first - ap[i] * j, f[i][j]);
			}
		}
		if(i - w - 1 <= 0) continue;
		for(int j = maxp - 1; j >= 0; j--) {
			while(!sell.empty() && sell.front().second > j + bs[i]) sell.pop();
			sell.push(make_pair(f[i - w - 1][j + 1] + bp[i] * (j + 1), j + 1));
			f[i][j] = max(sell.front().first - bp[i] * j, f[i][j]);
		}
	}
	int ans = -inf;
	for(int i = 0; i <= maxp; i++) {
		ans = max(f[t][i], ans);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

后记

终于把这个坑填上了。。