2034: [2009国家集训队]最大收益

题意:\(n \le 5000\)个区间\(l,r\le 10^8\),每个区间可以选一个点得到val[i]的价值,每个点最多选1次,求最大价值


线段树优化建边的做法见上一篇

论文




先把l,r离散化了,因为一个区间只选一个点,所以我们对于每个区间拿出一个点来就行了,方法是按l排序然后每个区间选左边界后的第一个未选点

当然这个点可能超出区间,所以我们要让区间与点匹配得到最大价值


  • 法1:裸上二分图最大权匹配,即使线段树优化建边还是承受不了
  • 法2:这个二分图很特殊,X的出边权值相同,我们可以贪心从大到小选择,用Hungary找增广路,复杂度\(O(n^3)\)
  • 法3:这个二分图超级特殊啊,X中每个点出边的集合是连续的一段,我们很方便比较两个点的可匹配点集合的大小,如果可匹配点集合更大的都找不到未盖点小的根本不用找啊!我们修改一下Hungary的过程,记下当前选到Y的哪个点now,如果now未匹配则匹配now,否则比较now的匹配点与当前点可匹配集合的大小,让更大的去找匹配。这样就省去了每个点遍历所有出边的过程,复杂度\(O(n^2)\)

总结

让深入分析问题的性质! 贪心乱搞随便过

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
const int N=1e4+5, INF=1e9;
inline ll read(){
char c=getchar();ll x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
} int n;
struct meow{
int l, r, val;
bool operator <(const meow &a) const {return val>a.val;}
}a[N];
bool cmp(const meow &a, const meow &b) {return a.l < b.l;}
int mp[N], m;
void disc() {
sort(a+1, a+1+n, cmp);
mp[++m]=a[1].l; int now=mp[m];
for(int i=2; i<=n; i++)
mp[++m] = max(now+1, a[i].l), now=mp[m];
for(int i=1; i<=n; i++) {
a[i].l = lower_bound(mp+1, mp+1+m, a[i].l) - mp;
int t = lower_bound(mp+1, mp+1+m, a[i].r) - mp;
a[i].r = mp[t] == a[i].r ? t : t-1;
}
}
int le[N];
bool find(int u, int now) {
if(now>a[u].r) return false;
if(!le[now]) {le[now]=u; return true;}
if(a[u].r > a[le[now]].r) return find(u, now+1);
else {
if(find(le[now], now+1)) {le[now]=u; return true;}
else return false;
}
}
void solve() {
sort(a+1, a+1+n);
ll ans=0;
for(int i=1; i<=n; i++) if(find(i, a[i].l)) ans+=a[i].val;
printf("%lld", ans);
}
int main() {
freopen("in","r",stdin);
n=read();
for(int i=1; i<=n; i++) a[i].l=read(), a[i].r=read()-1, a[i].val=read();
disc();
solve();
}

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