在环中（Going in Cycle!!, UVa 11090）

【题目描述】

给定一个 n 个点 m 条边的加权有向图，求平均权值最小的回路。

【输入格式】

输入第一行为数据组数 T 。每组数据第一行为图的点数 n 和边数 m (n ≤ 50)。以下 m 行每行3个整数 u, v, w, 表示有一条从 u 到 v 的有向边，权值为 w。输入没有自环。

【输出格式】

对于每组数据，输出平均最小值，并保留2位小数。如果误解，输出 "No cycle found."。

这道题吧，我觉得使用二分法求解不错。首先才一个值 mid，只需要判断是否存在平均值小于 mid 的回路。那么如何判断呢？假设存在一个包含 k 条边的回路，回路上各条边的权值为 w₁, w₂, w₃......（k 个），那么平均值小于 mid 意味着 w₁ + w₂ + w₃ +...... (k 个)< k * mid，即：

　　　　　　　　(w₁ - mid) + (w₂ - mid) + (w₃ - mid) + ......(k 组) < 0

这么看来，只要把每条边 (a, b) 的权 w(a, b) 变成 w(a, b) - mid，在判断图中是否有负全回路（负圈）即可。至于如何盘负圈，用 spfa 搜一遍图，若一个结点入队 n 次，那么就一定存在负圈。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 using namespace std;
 const int maxn = ;
 const int maxx = 1e6 + ;
 const double INF = 1e300;    //double型一个很大的数
 vector<int>v[maxn];
 vector<double>c[maxn];
 int cnt[maxn], vis[maxn];    //cnt[]入队次数
 double dis[maxn];
 int n, m;
 void init()
 {
     for(int i = ; i < maxn; ++i)
     {
         v[i].clear(); c[i].clear();
     }
 }
 bool spfa(double x)
 {
     for(int i = ; i < maxn; ++i) {    cnt[i] = vis[i] = ; dis[i] = INF;}
     queue<int>q;
     for(int i = ; i <= n; ++i)
     {
         q.push(i); cnt[i]++; dis[i] = ;
     }

     while(!q.empty())
     {
         int now = q.front(); q.pop();
         vis[now] = ;
         for(int i = ; i < v[now].size(); ++i)
         {
             if(dis[now] + c[now][i] - x < dis[v[now][i]])    //别忘减去 x！！
             {
                 dis[v[now][i]] = dis[now] + c[now][i] - x;
                 if(!vis[v[now][i]])
                 {
                     q.push(v[now][i]); vis[v[now][i]] = ; cnt[v[now][i]]++;

                     if(cnt[v[now][i]] > n) return true;
                 }
             }
         }
     }
     return false;
 }
 int main()
 {
     int T; scanf("%d", &T);
     for(int kase = ; kase <= T; ++kase)
     {
         init();
         printf("Case #%d: ", kase);
         scanf("%d%d", &n, &m);
         for(int i = ; i <= m; ++i)
         {
             int a, b, cost; scanf("%d%d%d", &a, &b, &cost);
             v[a].push_back(b);
             c[a].push_back(cost);
         }
         if(!spfa(maxx)) printf("No cycle found.\n");    //不存在负圈
         else
         {
             double L = , R = maxx;        //二分法求值
             while(R - L > 1e-)
             /*因为保留两位小数，所以只用让 L和 R相差小于0.01即可，这里选择0.001
             注意：不能写 R == L，因为存在浮点误差，两个double型实数不能相等）*/
             {
                 double mid = (L + R) / ;
                 if(spfa(mid)) R = mid;
                 else L = mid;
             }
             printf("%.2lf\n", L);
         }
     }
 }