P1169 [ZJOI2007]棋盘制作

给出一个 $N * M$ 的 $01$ 矩阵，求最大的正方形和最大的矩形交错子矩阵

$n , m \leq 2000$

悬线法

悬线法可以求出给定矩阵中满足条件的最大子矩阵

对于每个点，维护 两条等长的线段，两线段的底部达到此点的纵坐标，分别代表能从这个点达到的最左 / 最右端点

大概长这样

那么枚举每个点的这两条线段，不断用 $(r - l + 1) * dis$ 更新答案即可

这就是悬线法

这两条线段看上去很难维护，其实不然

因为其等长，我们将这两条线段用如下几个属性表示：

$l[i][j]$ 表示从 $(i, j)$ 能达到的最左的坐标

$r[i][j]$ 表示从 $(i, j)$ 能达到的最右的坐标

$up[i][j]$ 表示 以 $(i, j)$ 向上达到的 最上坐标，即悬线的长度

初始化满足条件的每个$1 * 1$ 小矩阵 $l[i][j] = r[i][j] = j, up[i][j] = 1$，即围成一个 $1 * 1$ 的小小矩形

容易想到维护悬线可以递推， 在满足矩阵限制的条件下，先初始化

\[l[i][j] = l[i][j - 1]$$ $$r[i][j] = r[i][j + 1]
\]

比对上一行，在满足矩阵限制的条件下，我们只能取最窄满足条件

\[l[i][j] = max(l[i][j], l[i - 1][j])$$ $$r[i][j] = min(r[i][j], r[i - 1][j])
\]

然后悬线长度可以继承上一行的 $$up[i][j] = up[i - 1][j] + 1$$

有了悬线直接计算围出来的面积即可

Solution

此题求最大交错矩阵

交错矩阵任意相邻两格颜色不同

于是限制条件即为相邻两格颜色不等

放个代码理解悬线法

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<queue>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<climits>

#define LL long long

#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)

using namespace std;

int RD(){

    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();

    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}

    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}

    return flag * out;

    }

const int maxn = 2019;

int lenx, leny;

int map[maxn][maxn];

int l[maxn][maxn], r[maxn][maxn];

int up[maxn][maxn];

int ans1, ans2;

void init(){

	lenx = RD(), leny = RD();

	REP(i, 1, lenx)REP(j, 1, leny){

		map[i][j] = RD();

		l[i][j] = r[i][j] = j;

		up[i][j] = 1;

		}

	REP(i, 1, lenx)REP(j, 2, leny){

		if(map[i][j] != map[i][j - 1])l[i][j] = l[i][j - 1];//预处理左边界

		}

	REP(i, 1, lenx)for(int j = leny - 1;j >= 1;j--){

		if(map[i][j] != map[i][j + 1])r[i][j] = r[i][j + 1];//右边界

		}

	}

void solve(){

	REP(i, 1, lenx)REP(j, 1, leny){

		if(i > 1 && map[i][j] != map[i - 1][j]){

			l[i][j] = max(l[i][j], l[i - 1][j]);

			r[i][j] = min(r[i][j], r[i - 1][j]);

			up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;

			}

		int a = r[i][j] - l[i][j] + 1;//宽

		int b = min(a, up[i][j]);

		ans1 = max(ans1, b * b);

		ans2 = max(ans2, a * up[i][j]);

		}

	printf("%d\n%d\n", ans1, ans2);

	}

int main(){

	init();

	solve();

	return 0;

	}