【FZSZ2017暑假提高组Day1】最大矩形

【问题描述】

现在有n个宽度为1的矩形按如下图（左边的）所示的方式排在了一起：

用肉眼容易看出，在左图内部面积最大的矩形如右图绿色部分所标注。

现在我们考虑将其中一些宽度为1的矩形取出，按照原顺序再次紧密地靠在一起，比如在原图中，如果我们取出从左往右数的第2、4、5、6个矩形，那么我们得到下面的左图，而该图形内部的最大矩形则如右图黄色部分所示。

现在，你的任务就是从原图中取出若干个宽度为1的矩形并使用上面的方式组成新的图形，使得新的图形中，内部的最大矩形面积最大。

【输入格式】

第一行为一个正整数T，表示数据组数。接下来T组数据，每组数据第一行为一个正整数n，表示矩形个数，接下来一行n个正整数，第i个数hi表示图形中从左到右第i个矩形的高度。

【输出格式】

对每组数据输出一行一个正整数，表示最大的“最大矩形”面积。

【输入样例】

【输出样例】

6
16
18

【数据规模与约定】

对于30%的数据，有1<=n<=15，

对于60%的数据，有1<=n<=1000，

对于100%的数据，有1<=T<=10, 1<=n,hi<=100000，每个测试点n的和不超过200000。

题目分析

这是一个裸的单调栈，我转载了别人的代码如下。设第一个比当前数（序号为i）小的左侧数为left[i]。算法的流程是这样的：设现在程序循环到第i个数，如果当前，栈顶的数大于等于第i个数，说明什么？说明序号i以后的数j，它们的left[j]一定不会是栈顶那个数，因为选了j一定能选i。既然这样，直接把j从栈中弹出，然后继续判断……直至第i个数遇到比它小的栈顶的数。这个数就是left[i]，因为比i小的数只会被更小更优的数替换。然后，将i入栈。这样就把那些无用的，值大于第i个数，却在第i个数左边的数统统用第i个数替换了。这就去除了冗余状态。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100001
#define int long long
int s[N],a[N],w[N],T,n,top,ans;
signed main(){
    freopen("rectangle.in","r",stdin),freopen("rectangle.out","w",stdout);
    cin>>T;
    while (T--){
        cin>>n;
        for (register int i=;i<=n;++i) cin>>a[i];
        sort(a+,a+n+);
        a[n+]=top=ans=;
        for (register int i=;i<=n+;++i)
            if (s[top]<a[i]&&top)
                s[++top]=a[i],w[top]=;
            else{int wide=;
                while(s[top]>=a[i]&&top){
                    wide+=w[top];
                    ans=max(ans,wide*s[top--]);
                }s[++top]=a[i],w[top]=wide+;
            }cout<<ans<<"\n";
    }
    return ;
}

代码分析

原来的HDU1506也是很水，这一题也是，唯一的区别在于排序了。我将会认真的讲解一下单调栈问题。

我们要维护的栈是一个单调递增的数列，为什么呢？我们的答案最好是用较高的答案加上去的，所以用递增数列。我们的答案矩阵是长乘宽，我们维护一个队列，当前的数字比栈顶还大，自然是递增的，入栈即可。如果小于等于，我们保存的是栈中比这个数字小（等于）的数字，当然这时候我们把宽度加一下啊。。。因为这时候我们维护的矩形可能是最大的，自然要记录了。我们一边出栈一边更新答案，虽然有可能不会更新掉答案。这里贼骚：原来的宽度是不是被pop掉了？我们再把宽度加回去哈。居然有这种操作，原因是原来的部分被算过一遍了，我们如果有更新ans就更新过了，我们可以把这个部分当做一个小矩形加入栈里面。如果最后还有答案怎么办啊？我们用一个高度为0的矩形入栈，然后你懂得。

当然如果你要压行，我不介意。本来要讲一讲我和小姐姐的故事，下次再说。