转：Logistic regression （逻辑回归） 概述

Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。（注意这里是：“可能性”，而非数学上的“概率”，logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值，不可以直接当做概率值来用。该结果往往用于和其他特征值加权求和，而非直接相乘）

那么它究竟是什么样的一个东西，又有哪些适用情况和不适用情况呢？

  一、官方定义：

，

Figure 1. The logistic function, with zon the horizontal axis and ƒ(z) on the vertical axis

逻辑回归是一个学习f:X− > Y 方程或者P(Y|X)的方法，这里Y是离散取值的，X= < X1,X2...,Xn > 是任意一个向量其中每个变量离散或者连续取值。

  二、我的解释

只看公式太痛苦了，分开说一下就好。Logistic Regression 有三个主要组成部分：回归、线性回归、Logsitic方程。

1）回归

Logistic regression是线性回归的一种，线性回归是一种回归。那么回归是虾米呢？

回归其实就是对已知公式的未知参数进行估计。比如已知公式是y = a*x + b，未知参数是a和b。我们现在有很多真实的(x,y)数据（训练样本），回归就是利用这些数据对a和b的取值去自动估计。估计的方法大家可以简单的理解为，在给定训练样本点和已知的公式后，对于一个或多个未知参数，机器会自动枚举参数的所有可能取值（对于多个参数要枚举它们的不同组合），直到找到那个最符合样本点分布的参数（或参数组合）。（当然，实际运算有一些优化算法，肯定不会去枚举的）

注意，回归的前提是公式已知，否则回归无法进行。而现实生活中哪里有已知的公式啊（G=m*g 也是牛顿被苹果砸了脑袋之后碰巧想出来的不是？哈哈），因此回归中的公式基本都是数据分析人员通过看大量数据后猜测的（其实大多数是拍脑袋想出来的，嗯...）。根据这些公式的不同，回归分为线性回归和非线性回归。线性回归中公式都是“一次”的（一元一次方程，二元一次方程...），而非线性则可以有各种形式（N元N次方程，log方程 等等）。具体的例子在线性回归中介绍吧。

2）线性回归

直接来一个最简单的一元变量的例子：假设要找一个y和x之间的规律，其中x是鞋子价钱，y是鞋子的销售量。（为什么要找这个规律呢？这样的话可以帮助定价来赚更多的钱嘛，小学的应用题经常做的呵呵）。已知一些往年的销售数据（x0,y0), (x1, y1), ... (xn, yn)做样本集,  并假设它们满足线性关系：y = a*x + b （其中a,b的具体取值还不确定），线性回归即根据往年数据找出最佳的a, b取值，使 y = a * x + b 在所有样本集上误差最小。

也许你会觉得---晕！这么简单! 这需要哪门子的回归呀！我自己在草纸上画个xy坐标系，点几个点就能画出来！（好吧，我承认我们初中时都被这样的画图题折磨过）。事实上一元变量的确很直观，但如果是多元就难以直观的看出来了。比如说除了鞋子的价格外，鞋子的质量，广告的投入，店铺所在街区的人流量都会影响销量，我们想得到这样的公式：sell = a*x + b*y + c*z + d*zz + e。这个时候画图就画不出来了，规律也十分难找，那么交给线性回归去做就好。（线性回归具体是怎么做的并不重要，对程序员来说，我们就把它当成一条程序命令就好。若看完本文还想了解更多，求解方法可见本文末尾的注1）。这就是线性回归算法的价值。

需要注意的是，这里线性回归能过获得好效果的前提是y = a*x + b 至少从总体上是有道理的（因为我们认为鞋子越贵，卖的数量越少，越便宜卖的越多。另外鞋子质量、广告投入、客流量等都有类似规律）；但并不是所有类型的变量都适合用线性回归，比如说x不是鞋子的价格，而是鞋子的尺码），那么无论回归出什么样的（a,b），错误率都会极高（因为事实上尺码太大或尺码太小都会减少销量）。总之：如果我们的公式假设是错的，任何回归都得不到好结果。

3）Logistic方程

上面我们的sell是一个具体的实数值，然而很多情况下，我们需要回归产生一个类似概率值的0~1之间的数值（比如某一双鞋子今天能否卖出去？或者某一个广告能否被用户点击? 我们希望得到这个数值来帮助决策鞋子上不上架，以及广告展不展示）。这个数值必须是0~1之间，但sell显然不满足这个区间要求。于是引入了Logistic方程，来做归一化。这里再次说明，该数值并不是数学中定义的概率值。那么既然得到的并不是概率值，为什么我们还要费这个劲把数值归一化为0~1之间呢？归一化的好处在于数值具备可比性和收敛的边界，这样当你在其上继续运算时（比如你不仅仅是关心鞋子的销量，而是要对鞋子卖出的可能、当地治安情况、当地运输成本 等多个要素之间加权求和，用综合的加和结果决策是否在此地开鞋店时），归一化能够保证此次得到的结果不会因为边界 太大/太小 导致 覆盖其他feature 或 被其他feature覆盖。（举个极端的例子，如果鞋子销量最低为100，但最好时能卖无限多个，而当地治安状况是用0~1之间的数值表述的，如果两者直接求和治安状况就完全被忽略了）这是用logistic回归而非直接线性回归的主要原因。到了这里，也许你已经开始意识到，没错，Logistic Regression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

至于所以用logistic而不用其它，是因为这种归一化的方法往往比较合理（人家都说自己叫logistic了嘛 呵呵），能够打压过大和过小的结果（往往是噪音），以保证主流的结果不至于被忽视。具体的公式及图形见本文的一、官方定义部分。其中f(X)就是我们上面例子中的sell的实数值了，而y就是得到的0~1之间的卖出可能性数值了。（本段 “可能性” 并非 “概率” ，感谢zjtchow同学在回复中指出）

三、Logistic Regression的适用性

1） 可用于概率预测，也可用于分类。

并不是所有的机器学习方法都可以做可能性概率预测（比如SVM就不行，它只能得到1或者-1）。可能性预测的好处是结果又可比性：比如我们得到不同广告被点击的可能性后，就可以展现点击可能性最大的N个。这样以来，哪怕得到的可能性都很高，或者可能性都很低，我们都能取最优的topN。当用于分类问题时，仅需要设定一个阈值即可，可能性高于阈值是一类，低于阈值是另一类。

2） 仅能用于线性问题

只有在feature和target是线性关系时，才能用Logistic Regression（不像SVM那样可以应对非线性问题）。这有两点指导意义，一方面当预先知道模型非线性时，果断不使用Logistic Regression； 另一方面，在使用Logistic Regression时注意选择和target呈线性关系的feature。

3） 各feature之间不需要满足条件独立假设，但各个feature的贡献是独立计算的。

逻辑回归不像朴素贝叶斯一样需要满足条件独立假设（因为它没有求后验概率）。但每个feature的贡献是独立计算的，即LR是不会自动帮你combine 不同的features产生新feature的 (时刻不能抱有这种幻想，那是决策树,LSA, pLSA, LDA或者你自己要干的事情)。举个例子，如果你需要TF*IDF这样的feature，就必须明确的给出来，若仅仅分别给出两维 TF 和 IDF 是不够的，那样只会得到类似 a*TF + b*IDF 的结果，而不会有 c*TF*IDF 的效果。

（完）

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我是分割线 。以下内容不看不影响逻辑回归的使用，看了——也没什么帮助。只是为希望一探究竟的同学准备的，括弧笑

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注一：线性回归求解方法

线性回归的求解方法适用于feature数量任意多的情况，所以为了直观（也为了少码字...），我们还是以上文中feature为一维的例子来说，即x:鞋子价格, 目标y:鞋子销量。那么线性回归求解，就是要找到那么一条直线，让实际的数据点（xi, yi) 偏离这个直线的总体距离最短。 这里实际有两个问题：1）怎么确切地定义“总体距离最短”呢？即总体误差的计算公式是什么（又称cost function)。没有这个东西，就没办法说我找到了误差最小的直线。  2）在给定cost function的情况下，怎么找到那条误差最小直线 f(x) = a*x + b。

下面分开来说，

1）cost function（最小二乘法）。

常见资料会把线性回归求解方法称为“最小二乘法”（不要点进去看，百科上那个公式写的太拧巴了，下面我会说），其实“最小二乘法”算不上一个求解方法，它是一个评估方法，即cost function。

“二乘”就是平方的意思，即，它定义了总体误差是：每个点的 “预测值” 减去 “真实值” 差的平方（“二乘”），累加起来的和。用公式表示就是：SUM[ ( f( xi ) - yi ) ^ 2 ]， 其中f(x)是当前预测的直线。“最小”就是认为当这个平方的累加和最小时，直线是误差最小的。以上即最小二乘法。

那么为什么要平方呢？（不想管可略过本段:D）——首先因为差值有正有负的，不平方累加起来正负会抵消——可是用绝对值的和不是更好吗？其实我更喜欢的一个解释是，如果我们认为实际的点在偏离预测值时是按“正态分布”偏离的，那么就应该最小化平方和，而不是最小化绝对值的和或其它的和。因为正态分布概率大概长这个样子：P(x) = 常数 * e^[-(x - 期望值)^2 / 常数] 。注意其中的 -（x - 期望值）^2，它是平方不是绝对值。让误差平方最小就是让正态分布的P(x)最大，也就是让当前的误差解释起来最为合理，直观上不难理解吧？刘未鹏在这篇介绍贝叶斯的文章里，详细说明了这个问题。PS:这篇文章也是我看过介绍贝叶斯博文中最棒的，想了解贝叶斯的同学非常推荐去看（等等，LZ写了这么多，还是先把LZ这篇博文看完吧~~ :D ）

2）梯度下降法（真正的求解方法）

“最小二乘法”只是定义了cost function，具体求解（找到最优的直线）一般用梯度下降法（gradient descent)。梯度下降是一个贪心的搜索方法，全面地讲述起来可以另开一篇博文了... 对于本文来说，你只需要了解它是这么做的：它先随便找条直线，计算误差，然后不断进行微调，每步微调都让误差减少一点，直至最后不能减少为止，最后的直线即为最优直线。

具体的做法我们可以这样理解（注意，以上说法是保证对的，但以下说法，只求直观理解，不可做正式定义，标准描述见这里）：

1> 它先随便找一条直线 f(x) = a0 * x + b0，计算误差（cost function）。

2> 对于a0（对于b0也是同样，如果有c0,d0,e0,f0也是同样），试试让a1 = a0 + 很小的数， 产生一个新的直线 a1 * x + b0，看看新的误差(cost function结果）是不是比原来的小了，如果是，就用这个a1了；否则看a1 = a0 - 很小的数 能否让误差变小，如果是，那用这个a1；如果都不是a0在局部已经是最好参数了，则不变a1 = a0；同理处理参数b0。最终得到一个新直线f(x) = a1 * x + b1。（只是形象说法，这个过程其实是通过求偏导实现的）

3> 重复第2步，直至a和b不能再变化了，最后的 f(x) = an * x + bn，即为最优直线，求解结束。

由于本问题的特殊性（最小二乘的cost function是凸函数），无论起始a0,b0是什么值，上述方法一定能找到一个唯一的最优直线。而且由于使用了梯度来计算上述“很小的数”，这个“很小的数”会随着直线越接近最优直线，变得越来越小，最终趋近于0，所以不必担心走不到第3>步。

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苏冉旭，http://hi.baidu.com/hehehehello/item/40025c33d7d9b7b9633aff87