题目描述:

给定一个数字序列,查询任意给定区间内数字的最小值。

输入:

输入包含多组测试用例,每组测试用例的开头为一个整数n(1<=n<=100000),代表数字序列的长度。
接下去一行给出n个数字,代表数字序列。数字在int范围内。
下一行为一个整数t(1<=t<=10000),代表查询的次数。
最后t行,每行给出一个查询,由两个整数表示l、r(1<=l<=r<=n)。

输出:

对于每个查询,输出区间[l,r]内的最小值。

样例输入:
5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5
样例输出:
1
1
3

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度如下:
1、朴素(即搜索),O(n)-O(qn) online。
2、线段树,O(n)-O(qlogn) online。
3、ST(实质是动态规划),O(nlogn)-O(q) online。
ST算法(Sparse Table),以求最大值为例,设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值,那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k]),其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。
d的求法可以用动态规划,d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。
4、RMQ标准算法:先规约成LCA(Lowest Common Ancestor),再规约成约束RMQ,O(n)-O(q) online。
首先根据原数列,建立笛卡尔树,从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ,也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法,故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。
 
下面是方法3的实现:
 #include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std; int n, t;
int l, r;
int dp[][]; void init() {
for (int j = ; (<<j) <= n; ++j) {
for (int i = ; i + (<<j) - <= n; ++i) {
dp[i][j] = min(dp[i][j-], dp[i+(<<(j-))][j-]);
}
}
} void getRes() {
int k = (int) (log((double)(r-l+))/log(2.0));
int res = min(dp[l][k], dp[r-(<<k)+][k]);
printf("%d\n", res);
} int main() {
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
for (int i = ; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &dp[i][]);
}
init();
scanf("%d", &t);
for (int i= ; i < t; ++i) {
scanf("%d %d", &l, &r);
getRes();
}
}
return ;
}
/**************************************************************
Problem: 1544
User: hupo250
Language: C++
Result: Accepted
Time:320 ms
Memory:14068 kb
****************************************************************/

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