包子凑数（dp思想）

问题描述：

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

【输入】

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)

以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

【输出】一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

【输入输出范例】

输入：

2

4

5

程序应该输出：

6

再例如，

输入：

2

4

6

程序应该输出：

INF

解题思路：

此题是主要是根据蒸笼的种类来组合出能做多少个包子，简单来说将n种数进行组合，每种数个数不限（其实1w差不多了），找到有哪些数是无法组合的，只用统计不能组合出的个数；此题难点就在每种数能拿的个数没有限制，比如（给出3种数：4，5，6）能组合的结果：每个数的倍数，每两个数相加的倍数，三个数相加的倍数，单取数字4，i个再加上5，6，似乎可以组合出很多很多个，穷举不太现实，所以此题用DP来做比较合适，DP主要是解决记住i个数字+其他数字j个 ( 比如：4 * i  +  5 * j ( j = 1,2,3...n) ),也节省了当出现相同的数时有不同组合结果的时间 （20 = 4 * 5 or 5 * 4），有点像完全背包，但不完全是，因为这题不是求最优解（价值最大之类的），而是统计不能组成的数有多少，比背包问题简单了一些。

算法设计：

• 用一个dp[ ]来判断这个数能不能组合成,这个数组大小可以给1w，更多也行， 这个范围是求出1~上限，不能组合出的数的个数（我只统计了1~1w的，可以近似理解为无穷大）。
• 数组dp[10000] = { 0 }，0代表不能组成，1表示能组合（其他数都可以），再用一个a[ ]数组存你的原始数（比如你的4，5，6），表达式：( dp[ j  -  a[ i ] ] == 1 ), j = 1,2,3...n, 相当于用两层循环（最外层循环原始数，内层遍历所有数），当然先把dp[ 0 ] = 1,自己本身肯定能组成，遍历的时候把符合条件的数进行标记，dp[ j ] = 1,这样就能统计出每个数要不同个数时的结果。
• 还要解决一个判断条件，判断是否有无限种不可以组合的情况，从例子中看出：当原始数都是偶数，或者原始数全为某一个数的倍数关系情况下，就有无限种不可能组合出的数。

 代码：

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #define maxSize 10000
 int dp[maxSize];//初始化dp数组，大小自己定（越大越接近无穷）
 //判断函数
 bool judge(int x, int y)
 {
     //判断是否全为偶数
     //或者候选数全为某一个倍数关系
     int t;
     while (y > )
     {
         t = x % y;
         x = y;
         y = t;
     }
     if (x == )
         return true;
     return false;
 }
 void count(int a[], int n)
 {
     int res, mark, i, j;
     res = ;//计数
     mark = ;//判断是否无限的变量
     memset(dp, , sizeof(dp));//将数组dp的数全部置为0,不用memset也行，直接dp[10000] = { 0 }
                               //也对memset主要适用于动态分配内存后的清0手段，其他情况效果差不多
     for (i = ; i <= n; i++)
     {
         scanf("%d", &a[i]);
     }
     for (i = ; i <= n; i++)
     {
         for (j = ; j <= n; j++)
         {
             if (judge(a[i], a[j]))//每次只能判断两个，所以二层循环遍历所有情况
             {
                 mark = ;
                 break;
             }
         }
         if (mark == )
             break;//只要有一个符合jugde函数就能数出组合的数量
     }
     if (mark != )
     {
         printf("INF\n");
         return;
     }
     dp[] = ;//第一个表示候选数的本身，故能组合自己
     for (i = ; i <= n; i++)
         for (j = ; j < maxSize; j++)
         {
             //记忆型存储，即时保存之前能组合的数
             //输入不分大小，但是要有一定顺序
             if (a[i] > j)
                 continue;//比自己本身还小的数，一定组合不出结果
             if (dp[j - a[i]] == )
                 dp[j] = ;
         }
     for (i = ; i < maxSize; i++)
     {
         if (dp[i] != )
             res++;//统计不能组合出来数的数量
     }
     printf("%d\n", res);
 }
 int main()
 {
     //小明制作包子问题，蒸笼种类n，每种蒸笼x个包子，统计有多少个包子组合不出来
     int a[], n;//数组a可以动态分配
     scanf("%d", &n);
     count(a, n);
     return ;
 }

时间复杂度：O(n * maxSize)

如果有更优化的算法，可以指出来，谢谢