[CQOI 2018]交错序列

Description

定义长度为 $n$ 的“交错序列”为：长度为 $n$ 序列中仅含 $0,1$ 且没有相邻的 $1$ 。给出 $a,b$ ，假设序列中有 $x$ 个 $0$ ， $y$ 个 $1$ 。定义该“交错序列”的价值为 $x^a\times y^b$ ，特别地 $0^0=1$ 。求所有长度为 $n$ 的交错序列的价值的和。对质数 $m$ 取模。

$1\leq n\leq 10000000,1\leq m\leq 100000000,1\leq a,b\leq 45$

Solution

~~傻逼题啊，组合数+ $lucas$ 乱搞一下就好了。~~

~~式子就是： $\sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor}(n-i)^a\times i^b\times{n-i+1\choose i}$~~

~~正好 $O(n)$ ，乱搞交了~~

あら？ $lucas$ 也有个 $\log$ 啊！！！ f**k ， 45pts 。

观察式子 $x^a\times y^b$ ，等价于 $(n-y)^a\times y^b$ 。

即

\[\sum_{i=0}^a{a\choose i}(-1)^{a-i}n^iy^{a+b-i}\]

那么我们只要算出 $y^i$ ，最后乘上 ${a\choose i}(-1)^{a-i}n^i$ 即可。

记 $f_{i,j,0/1}$ 表示长度为 $i$ 的序列结尾为 $0/1$ 且所有 $1$ 的个数（即式子中的 $y$ ）的 $j$ 次方和。

考虑转移，注意到如果这一位填 $0$ ，那么是与式子中的 $y$ 无关的，显然

\[f_{i-1,j,0}+f_{i-1,j,1}\rightarrow f_{i,j,0}\]

如果这一位填 $1$ ，假设 $y'=y+1$ ，那么 $y'^i=(y+1)^i=\sum\limits_{j=0}^i {i\choose j}y^j$

那么，

\[\sum_{k=0}^j{j\choose k}f_{i-1,k,0}\rightarrow f_{i,j,1}\]

初值 $f_{0,0,0}=1$ ，长度为 $0$ 含有 $0$ 个 $1$ 。可以用矩阵乘法加速。

复杂度 $O((2(a+b))^3\log_2 n)$ 。有点卡常...

Code

45pts

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10000000+5;

int n, m, a, b, ifac[N], fac[N];

int quick_pow(int a, int b) {

    int ans = 1;

    while (b) {

        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%m;

        b >>= 1, a = 1ll*a*a%m;

    }

    return ans;

}

int C(int n, int m, int p) {

    if (n < m) return 0;

    return 1ll*fac[n]*ifac[m]%p*ifac[n-m]%p;

}

int lucas(int n, int m, int p) {

    if (!m || n == m) return 1; if (n < m) return 0;

    return 1ll*lucas(n/p, n/p, p)*C(n%p, m%p, p)%p;

}

void work() {

    scanf("%d%d%d%d", &n, &a, &b, &m);

    int l = min(n+1, m);

    ifac[0] = ifac[1] = fac[0] = fac[1] = 1;

    for (int i = 2; i < l; i++) ifac[i] = -1ll*(m/i)*ifac[m%i]%m;

    for (int i = 2; i <= l; i++)

        ifac[i] = 1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%m,

        fac[i] = 1ll*i*fac[i-1]%m;

    int ans = 0;

    for (int i = 0; i*2-1 <= n; i++) {

        (ans += 1ll*quick_pow(n-i, a)*quick_pow(i, b)%m*lucas(n-i+1, i, m)%m) %= m;

    }

    printf("%d\n", (ans+m)%m);

}

int main() {work(); return 0; }

100pts

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200+5;

int n, a, b, m, C[N][N], sz1, sz2;

struct mat {

    int a[N][N];

    mat() {}

    mat operator * (const mat &b) const {

        mat ans;

        for (int i = 0; i < sz2; i++)

            for (int j = 0; j < sz2; j++) {

                ans.a[i][j] = 0;

                for (int k = 0; k < sz2; k++)

                    if (a[i][k] && b.a[k][j])

                        (ans.a[i][j] += 1ll*a[i][k]*b.a[k][j]%m) %= m;

            }

        return ans;

    }

}S, T;

void work() {

    scanf("%d%d%d%d", &n, &a, &b, &m);

    sz1 = a+b+1, sz2 = sz1<<1;

    for (int i = 0; i <= sz1; i++) {

        C[i][0] = 1;

        for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%m;

    }

    for (int i = 0; i < sz1; i++) {

        T.a[i][i] = 1, T.a[i+sz1][i] = 1;

        for (int j = i; j < sz1; j++) T.a[i][j+sz1] = C[j][i];

    }

    S.a[0][0] = 1; int t = n;

    while (t) {

        if (t&1) S = S*T;

        T = T*T, t >>= 1;

    }

    int ans = 0;

    for (int i = 0, pw = 1; i <= a; i++, pw = 1ll*pw*n%m) {

        ans += 1ll*((a-i)&1 ? -1 : 1)*C[a][i]*pw%m*(S.a[0][a+b-i]+S.a[0][a+b+sz1-i])%m;

        ans %= m;

    }

    printf("%d\n", (ans+m)%m);

}

int main() {work(); return 0; }