bzoj4518[Sdoi2016]征途 斜率优化dp
4518: [Sdoi2016]征途
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Description
Input
Output
一个数,最小方差乘以 m^2 后的值
Sample Input
1 2 5 8 6
Sample Output
HINT
1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000
Source
推公式
设s1[i]=1+2+...+i x=s1[n]/m
方差v=((x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xm-x)^2)/m
直接拆开所有平方
v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-2*(x1+x2+...+xm)^2-(m^2)*(x^2)
(m^2)*(x^2)=s1[n]^2 x1+x2+...+xm=s1[n]^2
ans=v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-s1[n]^2
其实化简之后发现 需要知道的是每一天的路程
那么考虑dp
dp[cur][i]=dp[cur-1][j]+(sum[i]-sum[j])^2
ans=dp[m][n]*m-sum[n]^2
斜率优化
dp[j]+(sum[i]-sum[j]-x)^2<=dp[k]+(sum[i]-sum[k]-x)^2
dp[j]-2*(sum[i]-x)*sum[j]+sum[j]^2
<=dp[k]-2*(sum[i]-x)*sum[k]+sum[k]^2
2*sum[i]>=
(dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2)/(sum[j]-sum[k])
#include<cstdio>
const int MAXN=3e3+;
int n,m;
int s[MAXN];
int q[MAXN],l,r;
long long f[MAXN][MAXN];
double count_y(int k,int j){return f[k][j-]+s[k]*s[k];}
double count(int t,int k,int j){return (count_y(t,j)-count_y(k,j))/(s[t]-s[k]);}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;++i)
{
int x;
scanf("%d",&x);
s[i]=s[i-]+x;
}
for(int i=;i<=n;++i)f[i][]=s[i]*s[i];
for(int j=;j<=m;++j)
{
l=,r=;
for(int i=;i<=n;++i)
{
while(l<r&&count(q[l],q[l+],j)<*s[i])++l;
int temp=q[l];
f[i][j]=f[temp][j-]+(s[i]-s[temp])*(s[i]-s[temp]);
while(l<r&&count(q[r],i,j)<count(q[r-],q[r],j))--r;
q[++r]=i;
}
}
printf("%lld\n",f[n][m]*m-(long long)s[n]*s[n]);
return ;
}
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