五一 DAY 3

DAY 3      2019.4.30

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动态规划DP

Dp是一个很抽象的东西

方法没有明显区别，很难总结套路

啥是DP？

DP等价于DAG！！！

（1）无后效性：DP的所有状态之间组成一个DAG

（2）最优子序列

（3）阶段性

（4）转移方程：如何计算状态

一般是顺序转移

有时候乱序，因为DP 是DAG，可以拓扑排序，然后从头for一遍

（5）状态：题目要算的东西

前置知识

简单的例子

斐波那契数列

0   1  1  2  3  5  8  13

F₀=0          //边界条件

F₁=1          //边界条件

F_n=F_n-1+F_n-2     // 转移方程    

定义域，f_{0到正无穷}

数列有一个边界条件，F₀，F₁      

规定好的条件叫边界条件f₀ , f₁ , 不依赖于其他feibo数的值，直接求出值

f₀,f₁,.....f_n 叫做状态，dp要求的未知东西，根据边界条件求出，依赖转移方程

对于DP，确定边界条件，转移方程，状态

F₀,F₁,.....F_n     //状态

F₀=0          //边界条件

F₁=1          //边界条件

F_n=F_n-1+F_n-2     // 转移方程

（我们来看这个题）

以斐波那契数列为例，求斐波那契数列第n项

数组f[n]  表示 feibo第n 项

其他值加起来求 f[a] ,

用到再算，别人更新自己

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int n,f[];

int main()
{
    cin >> n;
    f[]=;
    f[]=;

    for (int a=;a<=n;a++)
    {
        f[a]=f[a-]+f[a-];
    }

    cout << f[n] << endl;

}

假设 f[a] 已经求出，考虑 f[a] 会影响到哪个值

自己更新别人

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int n,f[];

int main()
{
    cin >> n;
    f[]=;
    f[]=;
    for (int a=;a<n;a++)
    {
        f[a+] += f[a];
        f[a+] += f[a];
    }

    cout << f[n] << endl;
}

Dfs搜索求出feibo

O(f[n]) 代码复杂度和feibo第n项大小一样

斐波那契数列通项公式

后项小于一

O与Feibo前项有关，指数级别复杂度，太慢

斐波那数列的第n项接近2^n

慢的原因：重复调用，每次产生一个新数都要多次计算已经算过的项

记忆化搜索：

记忆化可以解决的，递推或递归一定可以解决

记忆化搜索要多开一个数组，判断是否搜索过，空间多了一点

（矩阵加速实现logn）

保证每一项只被算一次, O（n）

#include<iostream>

using namespace std;

int f[n];

bool suan_le_mei[n];   //判断是否算过 

int dfs(int n)
{
    if (n==) return ;
    if (n==) return ;
    if (suan_le_mei[n]) return f[n]; //如果已经算过了，那就不算了，直接返回这个值

    suan_le_mei[n] = true;          //否则标记已算过
    f[n] = dfs(n-) + dfs(n-);     //计算

    return f[n];
}// O(n)

int main()
{
    cin >> n;
    cout << dfs(n) << endl;      

    return ;
}

介绍4个有套路的

---

显然   Ans= r-l+1

考虑用数位DP

我们设 [ l , r ] 表示区间 l 到 r 中有多少个数字  （前缀和）

首先问题就有一步转化

[ l , r ] = [ 0 , r ] - [ 0 , l - 1 ]

那么问题的关键就在于求 [ 0 , x ]

十进制表示 x ，那么它的各位数字分别为

x_n      x_n-1      x_n-2    .....       x₀

从最高位一位一位求[0,x]  (区间有多少个数字)

等价于找到v,使得0≤v≤x

求v的个数

十进制表示 v ，那么它的各位数字分别为

v_{n     Vn-1}      V_n-2    .....       V₀

V可能有前导0，但任然满足0≤v≤x

x_n      x_n-1      x_n-2    .....       x₀

v_{n     Vn-1}      V_n-2    .....       V₀

在第二行的每一位填上1-9的数，保证0≤v≤x

求v的方案数

填数：从高位开始，从n+1位置转移到n位

那么填V_n-3的时候， v_{n     Vn-1}      V_n-2 已经填

保证 v_{n     Vn-1}      V_n-2 <=  x_n      x_n-1      x_n-2  （v前三位 ≤  x前三位）

希望填了V_n-3之后仍然满足0≤v≤x，前四位≤前四位

分类讨论：

（1） v_{n     Vn-1}      V_n-2   <  x_n      x_n-1      x_n-2  

此时 V_n-3 填 0--9 任意数

（2） v_{n     Vn-1}      V_n-2   =  x_n      x_n-1      x_n-2  

此时 V_n-3 填 0-- x_n-3  任意数

f [ i ] [ j ] 由 f [ i - 1 ] [ j ’ ] 确定

先解释一下处理前导0

0   x_n      x_n-1      x_n-2    .....       x₀

0   v_{n     Vn-1}      V_n-2    .....       V₀

填完n+1位后，X，V，相等的方案数有1种，f[n+1][1] = 1;

#include<iostream>

using namespace std;

int l,r,z[];    //存储每一位 

int f[][];

int solve(int x)   //solve(i),表示0到i有多少个数
{
    int n=;
    while (x)
    {
        z[n] = x%;
        x/=;
        n++;
    }
    n--;

    memset(f,,sizeof(f));   //由于要两次DP，所以开始前清空数组

    f[n+][] = ;     //边界条件，处理前导零的状态

    for (int a=n;a>=;a--)   // 从头开始填
        for (int b=;b<=;b++)  //分类讨论
        {
            if (b==)
            {
                for (int c=;c<=;c++)
                    f[a][] += f[a+][b]; //保证始终v<x，方案数直接传递，
                                          //c可以有很多选择，每次成立一次就加一遍上个状态
            }
            else
            {
                for (int c=;c<=z[a];c++)
                {
                    if (c==z[a])  //填a位的时候方案就转移到了f[a][0]
                                  //因为c可以填好几个数，每填一次就+=上一次的状态
                        f[a][] += f[a+][b];

                    else
                        f[a][] += f[a+][b];
                }
            }
        }

    return f[][] + f[][];    // 各位填好后v<=x的方案总数
}

int main()
{
    cin >> l >> r;

    cout << solve(r) - solve(l-) << endl;

    return ;
}

G[ ][ ]表示数位之和

#include<iostream>

using namespace std;

int l,r,z[];    //存储每一位 

int f[][];
int g[][];

int solve(int x)   //solve(i),表示0到i有多少个数
{
    int n=;
    while (x)
    {
        z[n] = x%;
        x/=;
        n++;
    }
    n--;

    memset(f,,sizeof(f));   //由于要两次DP，所以开始前清空数组
    memset(g,,sizeof(g));

    f[n+][] = ;     //边界条件，处理前导零的状态
    g[n+][] = ;

    for (int a=n;a>=;a--)        // 从头开始填
        for (int b=;b<=;b++)   //分类讨论
        {
            if (b==)
            {
                for (int c=;c<=;c++)
                {
                    f[a][] += f[a+][b];
                    g[a][] += g[a+][b] + f[a+][b] * c;   //拆分数字之和，a+1位和a位（每个方案数贡献一个）
                }
            }
            else
            {
                for (int c=;c<=z[a];c++)
                {
                    if (c==z[a])
                    {
                        f[a][] += f[a+][b];
                        g[a][] += g[a+][b] + f[a+][b] * c;
                    }
                    else
                    {
                        f[a][] += f[a+][b];
                        g[a][] += g[a+][b] + f[a+][b] * c;
                    }
                }
            }
        }

    return g[][] + g[][];  //填完个位之后，统计所有 v <= x 的数位之和
}

int main()
{
    cin >> l >> r;

    cout << solve(r) - solve(l-) << endl;

    return ;
}

比如：135 合法   123非法

题目中有几个条件，就可以列一个多少维度的状态

这个题比之前多了一个条件，多一维状态

 推荐题目：

洛谷 Windy数

纠正：

十年以前的省选题，到今天只是NOIP难度

上岁数的省选题不一定是省选难度

k可以填0---9

由于k!=11

所以可以质因数分解

k = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d

so，可以把K拆成四个维度，降低复杂度

复杂度   a+b+c+d  ： log₂10¹⁸+ log₃10¹⁸+ log₅10¹⁸+ log₁₀10¹⁸

---

显然是n,

考虑DP

f[i]表示以i为根的子树中有多少个点

边界条件 f[leaf]=1

树形dp 由下至上一点点算上来

DFS 实现节点i子树有多少个点

对于每个点，枚举所有儿子，加起来子树之和，再加上自己的1个点

转移方程：

f[i]=f[son1]+f[son2]+.....f[sonn]+1

伪代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

int f[];

void read_tree()    //存图 

void dfs(int p)      //DFS 实现节点i子树有多少个点

{
    for (x is p's son)
    {
        dfs(x);
        f[p] += f[x];
    }
    f[p] ++;
}

int main()
{
    cin >> n;
    read_tree();

    dfs();
    cout << f[] << endl;

    return ;
}

直径：在树上找到两个点使得他们距离最远，这个距离就叫做直径

直径为三

提示：考虑一棵子树内部直径如何求

从一个点向下走两条路，合起来这两条路，就是一条路径

要找：

从一个点向下走最长的路径，和次长路径，合起来，对应这个拐点的最大路径

f[i][0]  i向下最长路长度

f[i][1]  i向下次长路长度

举例

最长路f[p][0]=max（ f[p₁][0] , f[p₂][0] ....  f[p_n][0] ）+1

次长路

f[p][1]=max（ f[p₁][0] , f[p₂][1] ....  f[p_n][0] ）+1

这样就错了，会出现

在找最长路的时候经过了p2，次长路的时候重复了p2，显然这是不可以的

所以直接删掉p2就完了

f[p][1]=max{ f[p₁][0] , f[p₃][0] ....  f[p_n][0] } +1

得到：

最长路      f[p][0]=max（ f[p₁][0] , f[p₂][0] ....  f[p_n][0] ）+1

次长路      f[p][1]=max{ f[p₁][0] , f[p₃][0] ....  f[p_n][0] } +1

最后枚举每一个点，每个点作为拐点，得到直径就是f[i][0]+f[i][1]

取出最大值

for( 1<= i <=n )

max{  f[i][0]+f[i][1] }

 推荐题目：

P3304 [SDOI2013]直径

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区间dp满足条件：

1. 合并相邻的东西
2. 把所有东西合并

F[l][r]     第 l 堆式子到第 r 堆式子合并为一堆的最小代价

边界条件：   f[i][i]=0

最后一次合并，左右合并，两堆合成一堆

整个合并过程中没有改变石头顺序

所以两堆石头存在一个分界线，把它分成左右两堆

显然要找到一个分界点（断点）p，然后分开左右两边

f[l][p]  f[p+1][r]

左右分开做，互不影响

所以枚举一下分界线（断点）p

最后结果就是：

f [ l ] [ r ] = min ( f [ l ] [ p]  + f[ p + 1 ] [ r ] + sum [ l ] [ r ]  )

f[l][p]      合并断点左边

f[p+1][r] 合并断点右边

sum[l][r] 合并这两堆（此处维护一个前缀和，更加方便）

[代码]：

由于求最小值，初始化最大 0x3f

最好不用0x7f,两个0x7f加起来就爆int

考虑如何循环

枚举左端点，右端点，断点

但这是错的

在求f[l][r]是没有计算f[l][r],但却需要他来更新

应该是小区间转移到大区间

枚举区间长度，按长度，从小到大

O（n³）

#include<iostream>

using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

int main()
{
    cin >>n;
    for (int a=;a<=n;a++)
        cin >> z[a];
    memset(f,0x3f,sizeof(f));  //由于求最小值，初始化最大 0x3f 

    for (int a=;a<=n;a++)
        f[a][a] = ;  //边界条件

    for (int len=;len<=n;len++)
        for (int l=,r=len; r<=n; l++,r++)
            for (int p=l;p<r;p++)
                f[l][r] = min(f[l][r],f[l][p]+f[p+][r]+sum[l][r]);  //

    cout << f[][n] << endl;

    return ;
}

P1880 [NOI1995]石子合并

上一题a₁ a_n 不相邻，本题a₁ a_n相邻，

所以要补区间，扩成两倍，但还是只做了一遍DP

f[1][n]是考虑a₁  a_n 不相邻

f[2][n+1]是考虑a₁  a_n相邻，但是a₂  a₁ 不相邻

所以考虑一遍各种情况，每次都会有一个断开的位置，找出断开哪个位置使得结果最小

 推荐题目：

P1063 能量项链

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给出点的坐标

（x₁,y₁）（x₂,y₂）（x₃,y₃）……（x_n,y_n）

有一个人一开始在一号点

出发，把其余的点都走至少一遍，使得路径最短

这样也是可以的

这叫TSP问题

（旅行商问题）

经典的NP-hard问题   最快也至少是O（2ⁿ）,n在指数上

（continue）

结论：

最优情况下，每个点只去一次

DP每一步枚举所有可能的情况

目前停留在5，它可以有三种情况的转移，因为还有三个点没走

DP转移：

希望把集合变成下标

目前保持的状态是集合，要求压成数

构造一个n位二进制数

每个元素只有可能在或者不在集合里

在 1

不在 0

所以说这个二进制数与集合{1，4，5}等价

S,已经走过的点的集合

F[ s ][ i ]从起点出发，走过集合s里的点，停留在i，所走过的最小距离

初始化f[1][1]=0

转移：考虑怎么走

转移

枚举j点，如果没走过它，我们把他加进去s试试

相应的最短距离要更新

转移方程

把s的第j位从0变成1

如果从i走到j比从起点到j近

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=;

int n;

double f[<<maxn][maxn];   //F[2^n][n]这么大就好

double dis(int i,int j)
{
    return sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int a=;a<n;a++)   //a下标 0-n-1
        cin >> x[a] >> y[a];

    for (int a=;a<(<<n);a++)   //手动初始化数组
        for (int b=;b<n;b++)
            f[a][b] = 1e+;     //要求最小值，手动无穷大

    f[][] = ;   //初始化边界 

    for (int s=;s<(<<n);s++)   //枚举S
        for (int i=;i<n;i++)    //枚举最后停留在那个点，停在i点
            if ( ((s>>i) & ) == )   // 看S二进制第i位是0还是1， 保证i在集合 s里
             for (int j=;j<n;j++)   // 枚举没走过的点 （j位一定为0）
                 if ( ((s>>j) & ) == )  //s>>j，那么i位就到了第0位
                     f[s|(<<j)][j] = min(f[s|(<<j)][j] , f[s][i] + dis(i,j));//转移方程

    double ans = 1e+;
    for (int a=;a<n;a++)   //不可能停在起点0号，所以从1枚举
        ans = min (ans , f[(<<n)-][a]);  //2的N次方减一就是N个位都是1 ，也就是都走过了一遍点

    cout << ans <<endl;

}

它的时间复杂度是O(n^2 * s^n)
空间复杂度O(2^n * n)
(一秒钟的运算量在3*10^8~10^9之间)
差不多n<=20

补充一些复杂度有关的知识

n<=12（O(n!)的复杂度，直接暴搜）
n<=22 或20（状压O(n^2 * s^n)）
n<=32 (直接放弃)
n<=50 (直接放弃)
n<=100 (O(n^3))
n<=1000 (O(n^2))
n<=10^5 (数据结构 O(nlogn))
n<=10^6 (线性算法 O(n))

n>10^6(O(1))

---

2019.7.17又讲一遍

1. 平面上N个点，第i个点坐标（xi,yi），从1号点出发，在平面上任意走，求走遍所有点再回来的最短路径

使得距离最短，一个点没必要走两次，每次从没走过的点选一个出来

f[s][i]  i 在i点，s走过了哪些点

状态压缩：把一个数组压缩成一个数

自己更新别人

所以我们要找没走过的点，枚举j，看看s的第j位二进制位是不是0

最后答案看看停在那个点，最后还要回来

#include<iostream>

using namespace std;

double f[][];
double x[],y[];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int a=;a<n;a++)
        cin >> x[a] >> y[a];
    f=∞
    f[][]=;
    for (int s=;s<(<<n);s++)
        for (int i=;i<n;i++)
            if (f[s][i] < ∞)
            {
                for (int j=;j<n;j++)
                    if ( ((s>>j) & ) == )
                    {
                        int news = s | (<<j); //加上这个数字
                        f[news][j] = min(f[news][j],f[s][i] + dis(i,j));
                    }
            }
    for (int i=;i<n;i++)
        ans=min(ans, f[(<<n)-][i] + dis(i,));

    return ;
}

O(2^n  *  n^2)

N<=22或者N<=20

一定是先枚举s，然后s从小到大，因为走过的点是越来越多的

 推荐题目：

P1171 售货员的难题

---

题目每多一个条件就多一个维度（至少保留暴力分。。）

F_ij    从起点走到 i，j 的方案数

每个坐标都可以向右或下走，除了边界，每个点由左边的点或上边的点转移过来

边界只能由一个方向转移过来

边界条件：f_1j=f_i1=1

转移方程：f_ij=f_i-1,j+f_i,j-1

其实也就是这样

C^n-1_n+m-2

数字三角形

希望走过的路径最大

变化量：走的过程中，位置变化

f[i][j] 走到（i,j）时走过路径的最大值

可以从左上角或者正上方转移过来

转移方程：f[ i ][ j ] = max( f[ i-1 ][ j ] , f[ i-1 ][ j-1 ] ) + a[ i ][ j ]

Joyoi

http://www.joyoi.cn/

数字三角形2

PS： 实在不行加一维

f[i][j] 走到（i,j） %100 后的最大值

错误

前面的最优不一定保证后面最优

比如你现在在98 99中选择，99一定最优，但是下一步再选，就会降为hin小的数

维度不够加一维

所以考虑加一维度

bool  f[i][j][k]表示走到[i][j]时的路径和%100=k是否可行

#include<iostream>

using namespace std;

bool f[233][233][233];  //bool数组 

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            cin >> a[i][j];

    f[1][1][a[1][1] % 100] = true;  //初始化
    for (int i=1;i<n;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            for (int k=0;k<100;k++)
                if (f[i][j][k])  //判断之前是否可达，否则走就没必要
                {
                    f[i+1][j][(k+a[i+1][j])%100]=true;
                    f[i+1][j+1][(k+a[i+1][j+1])%100]=true;
                }

    for (int j=1;j<=n;j++)   //最后枚举在哪一列
        for (int k=0;k<100;k++)
            if (f[n][j][k]) ans=max(ans,k);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

最长上升子序列

（和导弹拦截有异曲同工之妙）

数据加强到n<=10⁵

用数据结构 线段树 加速

我的背包问题

系统的学习详见背包九讲

好趴下面放3个背包问题：

    

 01背包

例题：采药

N个物品，M个体积

物品i，体积vi，价值wi

头疼：设计状态

放物品，考虑有什么未知量？？？

第一维：放了多少物品，[i]放好了i个物品

第二维：体积 [j] 已经放进去的物品，体积是多少

F[i][j] 放进i个物品，体积为j的最大价值

放进物品的编号<=i ，每个物品可以放或者不放，j已经放进去i个物品的体积之和

如何转移？？？

每次都考虑好了前i种物品，那么就考虑第i+1放或者不放

如果不放第i +1个物品，体积不变，价值不变

放了后体积会+vi，价值+wi

f[ i ][ j ] = max( f[ i-1 ][ j ]  ,  f[ i-1 ][ j-v[i] ] + wi )

外层for循环维度

状态转移

J要判断啊，不可以超过背包容积

最后答案不一定是f[n][m]，因为不一定体积越大价值越大，但是答案一定是考虑了所有n个物品，所以for一遍体积，ans取max

    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }

    int ans=0;
    for (int a=0;a<=m;a++)
        ans = max(ans,f[n][a]);
    cout << ans << endl;

  无限背包问题

从别人转移到自己

放0个：f[i-1][j]

放1个：f[i-1][j-vi]

放2个：f[i-1][j-2*vi]

放k个：f[i-1][j-k*vi]

可以枚举第i个物品到底放了几个

for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
            for (int k=0;k*v[i]<=j;k++)
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);

要判断k*v[i]<=j，保证体积不会爆炸

But 3层循环 O（n^3），慢了hin多

如何优化？？？

其实不需要降维，只需要把01背包改一下

f[ i ][ j ] = max( f[ i ][ j ] , f[ i ][ j-v[i] ] + w[ i ] )

之前是由i-1这种i的上一层状态转移过来的

此时就可以同一行的转移，横向转移，转移多少次就相当于一种物品放了多少个

复杂度 ： O（nm）

for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    int ans=0;
    for (int a=0;a<=m;a++)
        ans = max(ans,f[n][a]);
    cout << ans << endl;

  有限背包问题

直接k枚举多少次 O（n^3）

考虑优化？？？

比如现在一个物品能放13次

造体积为vi，价值为wi，只能用1次的物品

造体积为2vi，价值为2wi，只能用1次的物品

造体积为4vi，价值为4wi，只能用1次的物品

造体积为6vi，价值为6wi，只能用1次的物品

变成捆绑包的组合

01背包问题

O（n^2  *  k）

如何处理捆绑包大小？？？

相当于二进制拆分

（1）如果一个数字可以被2^k这样111111分解，那么很显然捆绑包组合起来可以实现所有值

（2）那如果不能111111这样分解，最后一定会剩下一个数字，把这个数字打包成一个捆绑包，也就是你算的时候，先算上这个数字，然后后面就变成一个可以被1111拆分的，就又回到上面情况

拆出来捆绑包个数k≈logn

所以复杂度就是O( nm logn )

只需要读入处理一下

#include<iostream>

using namespace std;

int n,m,w[233],v[233];
int f[233][233];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0;
    for (int a=1;a<=n;a++)
    {
        int v_,w_,z;
        cin >> v_>> w_ >> z;

        int x = 1;
        while (x <= z)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = v_*x;
            w[cnt] = w_*x;
            z-=x;
            x*=2;
        }
        if (z>0)  //Z最后有剩余，新建一个捆绑包
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = v_*z;
            w[cnt] = w_*z;
        }
    }
    n=cnt;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    int ans=0;
    for (int a=0;a<=m;a++)
        ans = max(ans,f[n][a]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

---

最后是一个无处安放的DP

P4408 [NOI2003]逃学的小孩

以及网址

http://west14.openjudge.cn/