膜 社论(egg drop)
题面
\(n\) 楼 \(m\) 个鸡蛋,从 \(k\) 楼及以上扔下去会碎,不能再测试 .
问至少需要扔几次确定 \(k\) .
\(n\le 10^{18}\),\(m\le 64\) .
题解
令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 个鸡蛋丢 \(j\) 次能确定的最高楼层(其实是 OEIS A180975 / A131251) .
显然最后一个走第 \(k\) 步的时候,和上一步之间的空隙不能超过 \(dp_{i-1,j-k}+1\),不然中间无法判定 .
于是
\]
即 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j-1}+1\) .
我们转成一个二项式系数的形式:
\]
过程(artalter)
令 \(g_{i,j}=dp_{i+1,j}-dp_{i,j}\) .
则
\]
妈呀这不是组合数吗?
于是就可以轻易建立 \(dp\) 到 \(g\) 的联系,从而推出式子了 .
随便推推
\]
然后随便线性做了 .
外面套一个二分就完了 .
时间复杂度 \(O(m\log n)\) .
细节:\(dp\) 增长很快,大于 \(n\) 直接丢掉,用 double
注意浮点误差
代码
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int128 i128;
const int N = 111;
const double LIM = 1e18;
ll n, k;
inline bool check(ll x)
{
i128 now=1, ans=0;
for (int l=0; l<k; l++)
{
if (1.0*now*(x-l)/(l+1) > LIM) return true;
now = now*(x-l)/(l+1); ans += now;
if (ans >= n) return true;
} return ans >= n;
}
int main()
{
int T; scanf("%d", &T);
while (T--)
{
scanf("%lld%lld", &n, &k);
ll l=0, r=n, ans=-1;
while (l <= r)
{
ll mid = (l + r) >> 1;
if (check(mid)){r = mid-1; ans = mid;}
else l = mid+1;
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
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