2020ICPC沈阳I - Rise of Shadows
剩余系
题意
给定 \(H,M,A\)
\(2<=H,M<=10^9,\;0<=A<=\frac {H*M}2\)
假设一个钟表有 \(H\) 小时,一小时有 \(M\) 分钟,求一天中有多少整数分钟,满足时针、分钟夹角不超过 \(\frac {2\pi A}{HM}\)
思路
时针角速度:\(v_h=\frac {2\pi}{HM}\),分针角速度: \(v_m=\frac {2\pi}{M}\)
设 \(t\) 分钟时 \((v_m-v_h)*t\equiv \frac {2\pi A}{HM}\pmod {H*M}\)
即 \((H-1)*t\equiv A \pmod {H*M}\), 求有多少个 \(t\) 满足 \((H-1)*t \mod ({H*M})<=A\)
在 \(ax\equiv b\pmod m\) 中,令 \(g=\gcd(a,m)\)
则 \(x\in[0,m-1]\),在模 m 意义下 \(a*x\) 有 \(g\) 轮循环,每轮有 \(0,a,2*a...\) 等 \(\lfloor\frac mg\rfloor+1\) 种取值
因此模为 \([1,A]\) 有 \(\frac Ag\) 种取值
对称地,模为 \([H*M-A,H*M-1]\) 与 \([1,A]\) 的 \(x\) 取值的对应,也有 \(\lfloor\frac Ag\rfloor\) 个, 再假设 模为 0 恒有一个
有 \(g\) 轮循环,答案为 \(ans=(\lfloor\frac Ag\rfloor*2+1)*g\)
注意特判,当 \(A == \frac {HM}2\) 时,所有分钟都是,即有 \(H*M\) 个,但按上述算法,由于 \(A==H*M-A\) ,会多算一个
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll H, M, A;
ll gcd(ll a, ll b)
{
if (b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
ll solve()
{
if (A * 2 == H * M)
return H * M;
ll a = H - 1, m = H * M;
ll g = gcd(m, a);
ll ans = (A / g * 2 + 1) * g;
return ans;
}
int main()
{
cin >> H >> M >> A;
cout << solve() << endl;
return 0;
}
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