FZYZ-2071 A Simple Math Problem IX

P2071 -- A Simple Math Problem IX

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状态：Accepted      标签：    数学问题-博弈论   无   无

Description

给定a,b,n，保证a≥2，b≥1，a^b≤n。两个人在玩游戏，每个人每次可以把a加1，或者把b加1，但是不能违反a^b<=n，无法再进行操作的人就输掉了这一场游戏。

假设两个人都足够聪明，按照最优策略进行游戏，问先手是否有必胜策略。

Input Format

第一行两个正整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行两个正整数 a 和 b。保证 a≥2，b≥1，a^b≤n。

Output Format

m 行，如果对于这一对数字 a 和 b，如果先手有必胜策略，输出 “Yes”。否则输出 “No” （不含引号）

Sample Input

5 3
2 1
2 2
3 1

Sample Output

Yes
No
No

Hint

对于10%的数据，n=2

对于70%的数据，n<=1000

对于100%的数据，n<=10^9，m<=10^5

题解

不难想到，状态(a,b)可以转移到状态(a + 1, b)或者(a, b + 1)。设F[a][b]为该局面下先手胜败，1表示必胜，0表示必败，那么F[a][b] = (F[a + 1][b] & F[a][b +１]) ^ 1。但是数据范围太大，该怎么办呢？

首先，a和b必须满足a^b <= n，即log (a, n) >= b，又因为a >= 2，所以log (2, n) >= log(a, n)，所以b <= log (2, n) <= 30。

其次，a^b <= n还可以推出当b >= 2时，a <= sqrt(n)，这也是一个不大的数字。当b=1时，即便n很大，但随着a的递增，可供选择的b会逐渐减少，最后转移会变成一条链，所以根据奇偶性判断就好。

代码

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <cmath>
 #include <cstring>
 #define MAXN 50010
 #define MAXM 50
 using namespace std;
 
 int N, M;
 int j;
 long long X;
 int A, B;
 int Lim;
 bool F[MAXN][MAXM];
 
 char ch; int aa, bb;
 int Scan() {
     while(ch=getchar(),(ch<''||ch>'')&&ch!='-');
     ch=='-' ? (bb=,aa=) : (aa=ch-,bb=);
     while(ch=getchar(),ch>=''&&ch<='')aa=aa*+ch-;
     if(bb)aa=-aa;
     return aa;
 }
 
 int main() {
     memset(F, , sizeof(F)); //F必须开bool
     N = Scan();
     Lim = int (sqrt(N));
     if ((Lim + N) & ) F[Lim + ][] = ;
     for (int i = Lim; i >= ; --i) {
         for (j = , X = ; X <= N; X *= i, ++j); //X可能会爆int
         for (--j; j; --j) F[i][j] = (F[i + ][j] & F[i][j + ]) ^ ;
     }
     for (M = Scan(); M; --M) {
         A = Scan(); B = Scan();
         if (B ==  && A > Lim) {
             if ((N + A) & ) printf("Yes\n");
             else printf("No\n");
         }
         else {
             if (F[A][B]) printf("Yes\n");
             else printf("No\n");
         }
     }
 }