NOIP2018提高组省一冲奖班模测训练(二)
比赛链接
今天发挥正常,昨天不在状态……
花了很久A了第一题
第二题打了30分暴力
第三题投机取巧输出test1答案(连暴力都不知道怎么打,太弱了)
2585分和4个人并列rank3
还行吧
LXL的雕像
x 可以为任意非负实数。
lxl想在土地上摆尽可能多的雕像,请你告诉他此时 x 的取值应为多少。
一行三个正整数表示 l,n,m。
一行一个实数 x ,精确到小数点后五位。
如果无法摆下雕像,输出-1。
2 18 13
0.50000
这道题算是复习了拓展gcd解不定方程
我的做法和讲解人不同,是用exgcd做的
我一开始看到这道题,以为是二分
因为当时想到x越小,雕像肯定越多
所以我就去二分x
写完然后发现,貌似x的取值并不连续
我们设雕像的横着有a个,竖着有b个
符合条件的x值只有很少的一部分,对于每个x有唯一的a与b对应。
这个时候我就想去求最大的(a,b)下的x
然后我就去推公式
显然有
al + a(x + 1) = n
bl + b(x + 1) = m
可以求得
x = (n - al) / (a+1)
x = (m - al) / (b+1)
把x消去
即(n - al) / (a+1) = (m - al) / (b+1)
化简可得
a(m + l) - (n + l)b = n - m
这里只有a和b是不知道的
想到了什么?
拓展gcd求不定方程
显然a越大,b也越大
那么可以求出最大的a,然后通过这个a可以求出x,x即答案
那么a的限制条件是什么
显然有a * l < n
那么a < n / l (向下取整)
所以我们可以通过调整解来取得最大的a
最后注意要特判一下n <= l 和 m <= l是无解的,直接输出-1
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std; void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
{
if(!b) { d = a; x = ; y = ; return; }
else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); }
} int main()
{
int l, n, m;
scanf("%d%d%d", &l, &n, &m); if(n <= l || m <= l) { puts("-1"); return ; } int A, B, K, d, x, y;
A = m + l, B = -(n + l), K = n - m;
exgcd(A, B, d, x, y);
if(K % d != ) { puts("-1"); return ; } x *= K / d; int mod = abs(B / d);
x = (x % mod + mod) % mod; int max_x = n / l;
if(n % l == ) max_x--; int t = (max_x - x) / mod;
x = x + t * mod;
if(n - x * l <= ) puts("-1");
else printf("%.6lf\n", ((double)n - x * l) / (x + )); return ;
}
XYK的音游
在 0 时刻xyk可以把鼠标放在任意位置。鼓点出现的时刻大于 0 。保证同一时间不会有两个鼓点。由于这款音游并不看重连击,xyk希望分数尽可能高就好。请你帮助他计算他能获得的最高分数。
对于 50% 的数据, n×m≤106 。
对于 100% 的数据, n,m≤100000,p≤5,ti≤1000000 。
第一行三个正整数 n,m,p。
接下来 m 行每行三个正整数 t_i,w_i,x_i 描述第 i 个鼓点。
一行一个整数表示最大分数。
5 5 1
2 42 4
3 23 4
1 70 4
2 31 5
1 85 5
150
觉得第三题比第二题简单一点,先写第三题
考试的时候给这道题留的时间不多
感觉是dp,但是因为时间不多没有深入去想,只想打打暴力
然而最后暴力都没打出来
这一题其实dp方程很好想
50分的数据说明可以有一个O(nm)的做法
可以设f[i]为处理了前i个鼓点,第i个一定选的最高分数
如果按照时间排序的话,那么有
f[i] = w[i] + f[j] (|x[i]-x[j]| <= p(t[i]-t[j]))
如果给我多点时间,我估计只能想到这
接下来的操作就非常秀了
可以发现,如果不按照时间排序,就按照输入的顺序,这个方程仍然成立
f[i] = w[i] +max(f[j]) (|x[i]-x[j]| <= p(t[i]-t[j]))
因为如果j的时间大于i的时间,那么这个条件 (|x[i]-x[j]| <= p(t[i]-t[j]))不可能成立
也就是说这个方程已经把按照时间排序这一步给省掉了。
那么我们是不是可以排其他东西来优化呢?
目前还看不出来,我们继续分析
这个做法主要的时间花在求max(f[j])要O(n)的时间
我们能不能优化成O(logn)
我们把绝对值拆开(这一步很骚)
可以得到
-p(t[i]-t[j]) <= x[i] - x[j] <= p(t[i]-t[j])
这里i和j是混在一起的,我们试着把i放在不等式的一边,j放在不等式的另外一边
-p(t[i]-t[j]) <= x[i] - x[j]
变成
pt[j] + x[j] <= pt[i] + x[i]
同样
p(t[i]-t[j]) >= x[i] - x[j]
变成
pt[i]-x[i]>=pt[j]-x[j]
那么
对于pt[i]-x[i]>=pt[j]-x[j],可以一开始排序完成
对于pt[j] + x[j] <= pt[i] + x[i],用树状数组优化,把pt[i] + x[i]当作下标,dp值作为值
和用树状数组求LIS的思路很像
那么这道题就可以优化到nlogn了。
注意排序的时候如果第一个条件相等,就排第二个条件。否则会WA5个点(在这卡了好久)
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std; const int MAXN = 1e5 + ;
int f[MAXN], dp[MAXN], b[MAXN];
int n, m, p, N, ans;
struct node
{
int t, w, x, k;
bool operator < (const node& rhs) const
{
return p * t - x < p * rhs.t - rhs.x || p * t - x == p * rhs.t - rhs.x && p * t + x < p * rhs.t + rhs.x;
}
}a[MAXN]; void read(int& x)
{
int f = ; x = ; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -; ch = getchar(); }
while(isdigit(ch)) { x = x * + ch - ''; ch = getchar(); }
x *= f;
} inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } void motify(int x, int p)
{
for(; x <= N; x += lowbit(x))
f[x] = max(f[x], p);
} int get_max(int x)
{
int res = ;
for(; x; x -= lowbit(x))
res = max(res, f[x]);
return res;
} int main()
{
read(n); read(m); read(p);
REP(i, , m)
{
read(a[i].t), read(a[i].w), read(a[i].x);
a[i].k = p * a[i].t + a[i].x;
} sort(a, a + m);
_for(i, , m) b[i] = a[i].k;
sort(b, b + m);
N = unique(b, b + m) - b;
REP(i, , m) a[i].k = lower_bound(b, b + N, a[i].k) - b + ; REP(i, , m)
{
dp[i] = get_max(a[i].k) + a[i].w;
ans = max(ans, dp[i]);
motify(a[i].k, dp[i]);
}
printf("%d\n", ans); return ;
}
ZYZ的游戏
zyz希望得到的森林中的最长路径尽可能小。zyz当然知道啦,但他想考考你这个最小值是多少。
对于 60% 的数据, n,k≤50000 。
对于 100% 的数据, n,k≤400000 。
第一行两个整数 n,k。
接下来 n-1 行,每行两个正整数 x,y ,描述一条树边 (x,y)。
一行一个整数,最长路径的表示最小值。
6 2
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
1
比赛的时候打了个30分暴力
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std; const int MAXN = 4e5 + ;
struct Edge{ int to, next, w; };
Edge e[MAXN<<];
int head[MAXN], tot, o, cnt;
int vis[MAXN], n, m, k; void read(int& x)
{
int f = ; x = ; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -; ch = getchar(); }
while(isdigit(ch)) { x = x * + ch - ''; ch = getchar(); }
x *= f;
} void AddEdge(int to, int from)
{
e[tot] = Edge{to, head[from], };
head[from] = tot++;
} int dfs(int u)
{
vis[u] = ;
int max1 = , max2 = ;
for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
{
int v = e[i].to;
if(vis[v] || !e[i].w) continue;
int now = dfs(v) + ;
if(now > max1) max2 = max1, max1 = now;
else if(now > max2) max2 = now;
}
cnt = max(cnt, max1 + max2);
return max1;
} int num(int x) { return !x ? : + num(x & (x - )); } int main()
{
memset(head, -, sizeof(head)); tot = ;
read(n); read(k); m = n - ;
REP(i, , m)
{
int u, v;
read(u); read(v); u--; v--;
AddEdge(u, v); AddEdge(v, u);
} int ans = 1e9;
REP(S, , << m)
{
if(num(S) != k) continue;
REP(i, , m)
{
if(S & ( << i))
{
e[ * i].w = ;
e[ * i + ].w = ;
}
else
{
e[ * i].w = ;
e[ * i + ].w = ;
}
} int t = ;
memset(vis, , sizeof(vis));
REP(i, , n)
if(!vis[i])
{
cnt = ;
dfs(i);
t = max(t, cnt);
}
ans = min(ans, t);
}
printf("%d\n", ans); return ;
}
这道题还是很精彩的。
首先最长路径尽可能小可以想到二分答案(智障的我没有想到,对二分不够敏感)
对于每一个二分值ans可以做一次树形dp
每次把路径长度要超过ans的子树删掉
这里有个小优化,可以O(n)完成这个过程
把子树的路径分为大于ans/2以及小于等于ans/2的
如果是大于ans / 2,只留下一个,因为如果大于等于两个,加起来就会大于ans
对于小于等于ans/2的全部留下,同时记录此时最长路径
那么最后要考虑要不要打大于ans/2的剩下的那一个删掉
我们就比较大于ans/2里面剩下的(也就是最小的)和小于等于ans/2最大的加起来
看有没有大于ans,如果大于,那么剩下的唯一一个的大一ans/2的就也要删掉
这样就可以O(n)的维护这个过程。
如果不这么做的话就只能排序来比较,复杂度是O(logn)
所以二分O(logn),树形dp O(n),总复杂度O(nlogn)
注意一定要在纸上画图想清楚每一个细节,然后就可以一遍AC了
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std; const int MAXN = 4e5 + ;
struct Edge{ int to, next; };
Edge e[MAXN << ];
int head[MAXN], dp[MAXN], d[MAXN], tot;
int n, m, k; void read(int& x)
{
int f = ; x = ; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -; ch = getchar(); }
while(isdigit(ch)) { x = x * + ch - ''; ch = getchar(); }
x *= f;
} void AddEdge(int to, int from)
{
e[tot] = Edge{to, head[from]};
head[from] = tot++;
} void dfs(int u, int fa, int ans)
{
int cnt = , mind = 1e9, maxd = ; for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
{
int v = e[i].to;
if(v == fa) continue;
dfs(v, u, ans);
dp[u] += dp[v];
if(d[v] + > ans / )
{
cnt++;
mind = min(mind, d[v] + );
}
else maxd = max(maxd, d[v] + );
} if(cnt)
{
if(mind + maxd > ans) dp[u] += cnt, d[u] = maxd;
else dp[u] += cnt - , d[u] = mind;
}
else d[u] = maxd;
} bool check(int ans)
{
memset(dp, , sizeof(dp));
memset(d, , sizeof(d));
dfs(, -, ans);
return dp[] <= k;
} int main()
{
memset(head, -, sizeof(head)); tot = ;
read(n); read(k);
REP(i, , n)
{
int u, v;
read(u); read(v);
AddEdge(u, v); AddEdge(v, u);
} int l = -, r = n - ;
while(l + < r)
{
int m = (l + r) >> ;
if(check(m)) r = m;
else l = m;
}
printf("%d\n", r); return ;
总结
(1)拓展gcd,无解特判
(2)二分答案,树形dp,ans/2优化
(3)dp,排序,拆绝对值,树状数组优化
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