BZOJ 2956 模积和 (数学推导+数论分块)

手动博客搬家: 本文发表于20170223 16:47:26, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/79354835

题目链接: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2956

题目大意: 求$$\sum^{n}{i=1} \sum^{m}{j=1, j\ne i} (n \mod i)(m \mod j)$$对19940417取模的值。

思路分析:

从heheda神犇的博客“heheda的数论专题练习”上翻到这样一道比较有趣的题。

一开始想歪了，一直在考虑n mod i与n mod (i+1)之间的递推关系，后来发现行不通。

既然是取模，那就可以采用“化模为除”的方法，即利用公式$$n \mod i = n-[n/i]*i $$化简原式，暂且不考虑\(i\ne j\)的条件可得$$ans=\sum^{n}{i=1} \sum^{m}{j=1} (n-i[n/i])(m-j[m/j])

= \sum^{n}{i=1} \sum^{m}{j=1} (nm-nj[m/j]-mi[n/i]+ij[n/i][m/j])

= n^2m2-n^2\sum{m}{j=1}j[m/j]-m^2\sum{n}{i=1}i[m/i]+\sum^{{n}_{i=1}i[n/i]*\sum}{m}_{j=1}j[m/j]$$

做到这一步，既然只有i和[n/i]出现在式子里(j同理)，显然可以用数论分块加速这个过程了。(至于数论分块的实现可以参见我的另一篇博客http://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/78819470) 分成\((2\sqrt n+2\sqrt m)\)个块，每个块内的\([n/i]\)与\([m/i]\)值均不变，块内求和直接用求和公式$$getsum(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$, 块内求和等于块右端点的getsum返回值减去块左端点的getsum返回值。

然后去掉\(i=j\)的情况:$$\sum^{\min(n,m)}{i=1} (n-i[n/i])(m-i[m/i])

=\sum^{{\min(n,m)}_{i=1}(nm-ni[m/i]-mi[n/i]+i}2[n/i][m/i])

=nm\min(n,m)-\sum^{{min(n,m)}_{i=1}i(n[m/i]+m[n/i])+\sum}{min(n,m)}{i=1}i^2[n/i][m/i]$$, 前两项仍然可以用前面的方法进行计算。棘手的问题来了：

对于最后一项，牵扯到求连续自然数的平方和。我们知道$$sqrsum(i)=\sum^{n}_{i=1}i2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$, 但是如果把\(n(n+1)(2n+1)\)算出来将会很大，long long无法支持。因此只能中途对\(19940417\)取模。但是又要除以6，牵扯到求逆元，而19940417又不是质数，无法用费马小定理求逆元。此时做法一是通过其他方法(如exgcd)求出6对于\(19940417\)的逆元，二是直接算出6的逆元并作为常量使用。其实，这个数的值是\(3323403\).

而我使用的是第三种做法——分类讨论。(其实是因为懒得写逆元)

观察到当\(n\equiv 0\)或\(n\equiv 2 (\mod 3)\)时，\(n(n+1)\)的值可以被6整除，因此先算出\(\frac{n(n+1)}{6}\)即可。当\(n\equiv 1 (\mod 3)\)时，\(2n+1\)被3整除，\(n(n+1)\)被2整除，故计算\(\frac{2n+1}{3}\)与\(\frac{n(n+1)}{2}\)相乘即可。(当然如果模数是24而不是6我甘愿老老实实地求逆元)

注意运算符优先级问题，不可以有任何连着三个19940417或1e9级别的数不加取模地连乘，否则必爆。

代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int NM = 31623;
const long long P = 19940417ll;
long long bl[(NM<<2)+4];
long long tmp[(NM<<2)+4];
long long n,m;
int nm,nn,mm;
void modinc(long long &a)
{
	if(a<0) a+=P;
	if(a>=P) a-=P;
}
void merge(int lb1,int lb2,int rb2)
{
	int i = lb1,j = lb2,k = lb1;
	while(i<=lb2-1 && j<=rb2)
	{
		if(bl[i]<bl[j]) {tmp[k] = bl[i]; i++;}
		else {tmp[k] = bl[j]; j++;}
		k++;
	}
	while(i<=lb2-1) {tmp[k] = bl[i]; i++; k++;}
	while(j<=rb2) {tmp[k] = bl[j]; j++; k++;}
	for(int i=lb1; i<=rb2; i++) bl[i] = tmp[i];
}
long long sqrsum(long long rb)
{
	if(rb%3==1) return ((((rb+rb+1)/3)%P)*(rb*(rb+1)/2)%P)%P;
	return ((rb*(rb+1)/6)%P*(rb+rb+1))%P;
}
long long getsum(long long rb)
{
	return (rb*(rb+1)/2)%P;
}
long long min_ll(long long x,long long y)
{
	return x<y ? x : y;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m); nm = 0;
	nn = sqrt(n); mm = sqrt(m);
	for(int i=1; i<=nn; i++) bl[++nm] = i;
	for(int i=nn; i>=1; i--) bl[++nm] = n/i;
	for(int i=1; i<=mm; i++) bl[++nm] = i;
	for(int i=mm; i>=1; i--) bl[++nm] = m/i;
	merge(1,1+nn+nn,nm);
	long long a = 0ll,b = 0ll,c = 0ll,d = 0ll;
	for(int i=1; i<=nm && bl[i]<=n; i++) {a += (getsum(bl[i])-getsum(bl[i-1])+P)*(n/bl[i])%P; modinc(a);}
	for(int i=1; i<=nm && bl[i]<=m; i++) {b += (getsum(bl[i])-getsum(bl[i-1])+P)*(m/bl[i])%P; modinc(b);}
	c = a*b%P; d = (min_ll(n,m)*n%P)*m%P;
	for(int i=1; i<=nm && bl[i]<=min_ll(n,m); i++)
	{
		long long tmp = (((sqrsum(bl[i])-sqrsum(bl[i-1])+P)*(n/bl[i])%P)*(m/bl[i]))%P;
		d += tmp; modinc(d);
	}
	for(int i=1; i<=nm && bl[i]<=min_ll(n,m); i++)
	{
		long long tmp = ((getsum(bl[i])-getsum(bl[i-1])+P)*((m*(n/bl[i])+n*(m/bl[i]))%P))%P;
		d -= tmp; modinc(d);
	}
	long long ans = ((n*m)%P)*((n*m)%P)%P;
	ans -= (((n*n)%P)*b)%P; modinc(ans);
	ans -= (((m*m)%P)*a)%P; modinc(ans);
	ans += c; modinc(ans);
	ans -= d; modinc(ans);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}