CSU 1809 - Parenthesis - [前缀和+维护区间最小值][线段树/RMQ]

题目链接：http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1809

Bobo has a balanced parenthesis sequence P=p ₁ p ₂…p _n of length n and q questions.

The i-th question is whether P remains balanced after p _ai and p _bi  swapped. Note that questions are individual so that they have no affect on others.

Parenthesis sequence S is balanced if and only if:

1.  S is empty;

2.  or there exists balanced parenthesis sequence A,B such that S=AB;

3.  or there exists balanced parenthesis sequence S' such that S=(S').

Input

The input contains at most 30 sets. For each set:

The first line contains two integers n,q (2≤n≤10 ⁵,1≤q≤10 ⁵).

The second line contains n characters p ₁ p ₂…p _n.

The i-th of the last q lines contains 2 integers a _i,b _i (1≤a _i,b _i≤n,a _i≠b _i).

Output

For each question, output " Yes" if P remains balanced, or " No" otherwise.

Sample Input

4 2
(())
1 3
2 3
2 1
()
1 2

Sample Output

No
Yes
No

题意：

现在给出长度为n的一串圆括号串，保证是平衡的括号串；

再给出q个查询，每个查询有两个值a,b，代表询问交换P[a]和P[b]，会不会使得括号串变得不平衡。

题解：

首先，我们定义一个preSum数组，代表了这括号序列的前缀和，遇到一个'('就加上1，遇到一个')'就减去1；

这样一来，该括号序列为平衡序列 $\Leftrightarrow$ preSum[n]==0，且对于$\forall$i=1~n都有preSum[i]≥0；

那么我们有以下三种情况：

1. P[a]==P[b]，这样情况显然交换一下和原来没有区别，显然是保持平衡的；
2. P[a]=')'且P[b]='('，这种情况下，preSum[1]~preSum[a-1]不会有任何变动，preSum[a]~preSum[b-1]都会$+=2$，preSum[b]~preSum[n]也不会有任何变动，这样一来，交换后产生的新的括号序列，依然满足preSum[n]==0，且对于$\forall$i=1~n都有preSum[i]≥0，那么显然该括号序列还是平衡序列；
3. P[a]='('且P[b]=')'，这种情况下，preSum[1]~preSum[a-1]不会有任何变动，preSum[a]~preSum[b-1]都会$-=2$，preSum[b]~preSum[n]不会有任何变动，那么显然关键就在preSum[a]~preSum[b-1]上了，我们知道一旦有一个preSum[i]<0，这个括号序列就不平衡了，所以我们必须保证preSum[a]~preSum[b-1]都大于等于2才行。

所以，我们可以使用线段树或者RMQ维护preSum[]数组的区间最小值，对每次查询只要查询出[a,b]区间内preSum[i]的最小值有没有比2大就可以了。

AC代码：

①线段树：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn=1e5+;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,q;
char str[maxn];
int preSum[maxn];

struct Node{
    int l,r;
    int val;
}node[*maxn];
void pushup(int root)
{
    node[root].val=min(node[root*].val,node[root*+].val);
}
void build(int root,int l,int r)
{
    node[root].l=l; node[root].r=r;
    if(l==r) node[root].val=preSum[l];
    else
    {
        int mid=l+(r-l)/;
        build(root*,l,mid);
        build(root*+,mid+,r);
        pushup(root);
    }
}
int query(int root,int st,int ed)
{
    if(ed<node[root].l || node[root].r<st) return INF;
    if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) return node[root].val;
    else return min(query(root*,st,ed),query(root*+,st,ed));
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)
    {
        scanf("%s",str+);

        preSum[]=;
        for(int i=;i<=n;i++) preSum[i]=preSum[i-]+(str[i]=='('?:-);

        build(,,n);
        for(int i=,a,b;i<=q;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(a>b) swap(a,b);

            if( str[a]==str[b] || (str[a]==')' && str[b]=='(') ) printf("Yes\n");
            else if(query(,a,b-)>=) printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }
    }
}

②RMQ：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn=1e5+;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,q;
char str[maxn];
int preSum[maxn];

struct _RMQ{
    int Mnum[maxn][]; //int(log(maxn)/log(2.0))
    void init(int num[])
    {
        for(int i=;i<=n;i++) Mnum[i][]=num[i];
        int j_max=(log(n)/log());
        for(int j=;j<=j_max;j++)
        {
            for(int i=;i<=n;i++)
            {
                if(i+(<<j)- <= n)
                    Mnum[i][j]=min(Mnum[i][j-],Mnum[i+(<<(j-))][j-]);
            }
        }
    }
    int query(int l,int r)
    {
        int k=log(r-l+)/log();
        return min(Mnum[l][k],Mnum[r-(<<k)+][k]);
    }
}RMQ;

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)
    {
        scanf("%s",str+);

        preSum[]=;
        for(int i=;i<=n;i++) preSum[i]=preSum[i-]+(str[i]=='('?:-);

        RMQ.init(preSum);
        for(int i=,a,b;i<=q;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(a>b) swap(a,b);

            if( str[a]==str[b] || (str[a]==')' && str[b]=='(') ) printf("Yes\n");
            else if(RMQ.query(a,b-)>=) printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }
    }
}