牛顿二项式与 e 级数
复习一下数学, 找一下回忆.
先是从二项式平方开始:
其实展开是这样的:
再看立方:
通过排列组合的方式标记, 于是:
通过数学归纳法可以拓展:
使用求和简写可得:
e 级数
数学常数 e (The Constant e – NDE/NDT Resource Center) 的定义爲下列极限值:
使用二项式定理能得出
第 k 项之总和为
因为 n → ∞,右边的表达式趋近1。 因此
由于序列的极限可以相加, 所以 e 可以表示为:
计算情况:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …
As an example, here is the computation of e to 22 decimal places:
1/0! | = | 1/1 | = | 1.0000000000000000000000000 |
1/1! | = | 1/1 | = | 1.0000000000000000000000000 |
1/2! | = | 1/2 | = | 0.5000000000000000000000000 |
1/3! | = | 1/6 | = | 0.1666666666666666666666667 |
1/4! | = | 1/24 | = | 0.0416666666666666666666667 |
1/5! | = | 1/120 | = | 0.0083333333333333333333333 |
1/6! | = | 1/720 | = | 0.0013888888888888888888889 |
1/7! | = | 1/5040 | = | 0.0001984126984126984126984 |
1/8! | = | 1/40320 | = | 0.0000248015873015873015873 |
1/9! | = | 1/362880 | = | 0.0000027557319223985890653 |
1/10! | = | 1/3628800 | = | 0.0000002755731922398589065 |
1/11! | = | 1/39916800 | = | 0.0000000250521083854417188 |
1/12! | = | 1/479001600 | = | 0.0000000020876756987868099 |
1/13! | = | 1/6227020800 | = | 0.0000000001605904383682161 |
1/14! | = | 1/87178291200 | = | 0.0000000000114707455977297 |
1/15! | = | 1/1307674368000 | = | 0.0000000000007647163731820 |
1/16! | = | 1/20922789887989 | = | 0.0000000000000477947733239 |
1/17! | = | 1/355687428101759 | = | 0.0000000000000028114572543 |
1/18! | = | 1/6402373705148490 | = | 0.0000000000000001561920697 |
1/19! | = | 1/121645101098757000 | = | 0.0000000000000000082206352 |
1/20! | = | 1/2432901785214670000 | = | 0.0000000000000000004110318 |
1/21! | = | 1/51091049359062800000 | = | 0.0000000000000000000195729 |
1/22! | = | 1/1123974373384290000000 | = | 0.0000000000000000000008897 |
1/23! | = | 1/25839793281653700000000 | = | 0.0000000000000000000000387 |
1/24! | = | 1/625000000000000000000000 | = | 0.0000000000000000000000016 |
1/25! | = | 1/10000000000000000000000000 | = | 0.0000000000000000000000001 |
For more information on e, visit the the math forum at mathforum.org
The sum of the values in the right column is 2.7182818284590452353602875 which is “e.”
Reference: The mathforum.org
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