Matlab:非线性热传导（抛物方程）问题

函数文件1：real_fun.m

 function f=real_fun(x0,t0)
 %精确解
 f=4*x0*(1-x0)*sin(t0);

函数文件2：F.m

 function f=F(N,u,U,t,h1,h2)
 %非线性方程组
 %h1是x的步长，h2是t的步长
 %u表示迭代节点,上一时刻的数值解
 %h表示时间节点上的步长
 %N表示空间节点的步数
 a0=0.5*t^4*h2*N^2;
 f(1,1)=a0*(U(2)^2-2*U(1)^2)+h2*fi(h1,t)+u(1)-U(1);
 f(N-1,1)=a0*(-2*U(N-1)^2+U(N-2)^2)+h2*fi((N-1)*h1,t)+u(N-1)-U(N-1);
 for p=2:N-2
 f(p,1)=a0*(U(p+1)^2-2*U(p)^2+U(p-1)^2)+h2*fi(p*h1,t)+u(p)-U(p);
 end

函数文件3：fi.m

 function f=fi(x0,t0)
 %等式右边的f函数
 f=4*x0*(1-x0)*cos(t0)-16*t0^4*(6*x0^2-6*x0+1)*(sin(t0))^2;

函数文件4：Jacobian.m

 function g=Jacobian(n,u,t,h1,h2)
 %计算每个时间节点的牛顿迭代过程中的雅可比矩阵
 %u表示迭代初值，上一时刻的数值解作为迭代初值
 a=0.5*t^4*h2*n^2;
 g=zeros(n-1);
 g(1,2)=2*a*u(2);
 g(1,1)=-4*a*u(1);
 g(n-1,n-1)=-4*a*u(n-1);
 g(n-1,n-2)=2*a*u(n-2);
 for p=2:n-2
         g(p,p+1)=2*a*u(p+1);
         g(p,p)=-4*a*u(p);
         g(p,p-1)=2*a*u(p-1);
 end
 g=g-eye(n-1);

函数文件5：Newtond.m

 function x=Newtond(n,u,t,h1,h2)
  %使用修改后的牛顿迭代，可以不求雅可比de逆
  %U中间代初值
   %u起始迭代初值
   U=u;
 tol=0.5e-5;
 % Jacobi=Jacobian(n,u,t,h1,h2);%每隔k步求一次雅可比
 x1=U-Jacobian(n,u,t,h1,h2)\F(n,u,U,t,h1,h2);
 while (norm(x1-U,1)>=tol)
     %数值解的1范数是否在误差范围内
     U=x1;
     x1=U-Jacobian(n,u,t,h1,h2)\F(n,u,U,t,h1,h2);
 end
 x=x1;%不动点

脚本文件：

 tic;
 clc
 clear
   N=100;
   M=1000;
   t_h=1/M;%t的步长
   x_h=1/N;%x的步长
   x=0:x_h:1;%x的节点
   ti=0:t_h:0.5;%t的节点
 %********************真解**************************
 for i=1:length(x)
     for j=1:length(ti)
         real_Z(i,j)=real_fun(x(i),ti(j));
     end
 end
 %********************真解**************************
 %********************数值解**************************
  ui=zeros(length(x)-2,1);%牛顿迭代初值
 Z=zeros(length(x),length(ti));
 for i=1:length(ti)-1
 Z(2:length(x)-1,i+1)=Newtond(length(x)-1,ui,ti(i+1),x_h,t_h);%t(i+1)时间的牛顿数值解
 ui=Z(2:length(x)-1,i+1);%牛顿迭代初值，上一时刻的数值解作为迭代初值
 end

 %********************数值解**************************
 [X,Y]=meshgrid(x,ti);
 subplot(2,2,1),
 mesh(X,Y,real_Z');
 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('analytical solution');
 subplot(2,2,2),
 mesh(X,Y,Z');
 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('numerical solution');
 subplot(2,2,3),
 mesh(X,Y,real_Z'-Z');
 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('error solution');
 title('牛顿迭代法');
 grid on;
 toc;

效果图：