[bzoj5507] [洛谷P5305] [gzoi2019]旧词

Descriptioin

浮生有梦三千场

穷尽千里诗酒荒

徒把理想倾倒

不如早还乡

温一壶风尘的酒

独饮往事迢迢

举杯轻思量

泪如潮青丝留他方

——乌糟兽/愚青《旧词》

你已经解决了五个问题，不妨在这大树之下，吟唱旧词一首抒怀。最后的问题就是关于这棵树的，它的描述很简单。

给定一棵 $n$ 个点的有根树，节点标号 $1 \sim n$，11 号节点为根。

给定常数 $k$ 。

给定 $Q$ 个询问，每次询问给定 $x,y$。

求：

$\sum\limits_{i\leq x} depth(lca(i,y))^k$

$lca(x,y)$ 表示节点 $x$ 与节点 $y$ 在有根树上的最近公共祖先。

$depth(x)$ 表示节点 $x$ 的深度，根节点的深度为 1。

由于答案可能很大，你只需要输出答案模 998244353 的结果。

Input

输入包含 $n+Q$ 行。

第 1 行，三个正整数 $n,Q,k$ 。

第 $i=2 \sim n$ 行，每行有一个正整数 $f_i,(1 \leq f_i \leq n)$，表示编号为 $i$ 的节点的父亲节点的编号。

接下来 $ Q$ 行，每行两个正整数 $x,y(1 \leq x,y \leq n)$，表示一次询问。

Output

输出包含 $Q$ 行，每行一个整数，表示答案模 998244353 的结果。

Sample Input

5 5 2

1

4

1

2

4 3

5 4

2 5

1 2

3 2

Sample Output

15

11

5

1

6

HINT

样例解释

输入的树：

每个点的深度分别为 1,2,3,2,3。

第一个询问 $x = 4,y = 3$，容易求出：

$lca(1,3)=1,lca(2,3)=1,lca(3,3)=3,lca(4,3)=4$

于是 $depth(1) +depth(1) +depth(3) +depth(4) =1+1+9+4=15$ 。

数据范围 $n\leq 50000,m\leq 50000,1\leq k \leq 10^9$

想法

首先一句题外话，我真的很喜欢这种有些文学范儿的题~

言归正传！这个题跟 $[LNOI2014]LCA$ 很像，挺套路的。

离线，把所有询问按 $x$ 从小到大排序后处理。

考虑当 $k=1$ 时，将 $1\leadsto [1,x]$ 每条路径上经过的点的值都加1，统计 $1\leadsto y$ 路径上所有点的值之和就是答案

这样做的原理为对于任意深度为 $i$ 的点，它对答案的贡献为 $ i^1-(i-1)1=1 $

那么当 $k \neq 1$ 时也同理，任意深度为 $i$ 的点对答案的贡献为 $i^k-(i-1)^k=c$ ，路径上若经过这个点，则该点的值加 $c$

由于所有点深度固定，$k$ 也固定， $c$ 是很容易处理出来的。

至于如何修改与统计，那当然是树链剖分+线段树咯！（虽说 $lct$ 也行,但想想那代码量与极大的常数还是放弃吧）

代码

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

int read(){

    int x=0;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();

    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

    return x;

}

const int N = 50005;

const int xzy = 998244353;

typedef long long ll;

struct node{

    int v;

    node *nxt;

}pool[N],*h[N];

int cnt;

void addedge(int u,int v){

    node *p=&pool[++cnt];

    p->v=v;p->nxt=h[u];h[u]=p;

}

int fa[N],son[N],dep[N],size[N];

void dfs1(int u){

    int v,sonnum=0;

    size[u]=1;

    for(node *p=h[u];p;p=p->nxt){

        dep[v=p->v]=dep[u]+1;

        dfs1(v);

        if(size[v]>sonnum) sonnum=size[v],son[u]=v;

        size[u]+=size[v];

    }

}

int top[N],w[N],rk[N],tot;

void dfs2(int u){

    int v=son[u];

    if(v){

        top[v]=top[u];

        w[v]=++tot;

        rk[tot]=v;

        dfs2(v);

    }

    for(node *p=h[u];p;p=p->nxt)

        if((v=p->v)!=son[u]){

            top[v]=v;

            w[v]=++tot;

            rk[tot]=v;

            dfs2(v);

        }

}

int n,m,k;

int Pow_mod(int x,int y){

    int ret=1;

    while(y){

        if(y&1) ret=((ll)ret*x)%xzy;

        x=((ll)x*x)%xzy;

        y>>=1;

    }

    return ret;

}

struct tree{

    tree *ch[2];

    int e,sum,lazy;

}pool2[N*2],*root;

int cnt2;

void build(tree *p,int l,int r){

    p->sum=p->lazy=0;

    if(l==r){

        p->e=(Pow_mod(dep[rk[l]],k)-Pow_mod(dep[rk[l]]-1,k)+xzy)%xzy;

        return;

    }

    int mid=(l+r)>>1;

    build(p->ch[0]=&pool2[++cnt2],l,mid);

    build(p->ch[1]=&pool2[++cnt2],mid+1,r);

    p->e=((ll)p->ch[0]->e+p->ch[1]->e)%xzy;

}

void update(tree *p) { p->sum=((ll)p->ch[0]->sum+p->ch[1]->sum)%xzy; }

void pushdown(tree *p){

    if(!p->lazy) return;

    for(int i=0;i<2;i++){

        (p->ch[i]->lazy+=p->lazy)%=xzy;

        p->ch[i]->sum=((ll)p->ch[i]->sum+1ll*p->lazy*p->ch[i]->e%xzy)%xzy;

    }

    p->lazy=0;

}

void change(tree *p,int l,int r,int L,int R){

    if(l==L && r==R){

        p->lazy++;

        p->sum=(p->sum+p->e)%xzy;

        return;

    }

    pushdown(p);

    int mid=(l+r)>>1;

    if(R<=mid) change(p->ch[0],l,mid,L,R);

    else if(L>mid) change(p->ch[1],mid+1,r,L,R);

    else{

        change(p->ch[0],l,mid,L,mid);

        change(p->ch[1],mid+1,r,mid+1,R);

    }

    update(p);

}

int query(tree *p,int l,int r,int L,int R){

    if(l==L && r==R) return p->sum;

    pushdown(p);

    int mid=(l+r)>>1;

    if(R<=mid) return query(p->ch[0],l,mid,L,R);

    else if(L>mid) return query(p->ch[1],mid+1,r,L,R);

    return (query(p->ch[0],l,mid,L,mid)+query(p->ch[1],mid+1,r,mid+1,R))%xzy;

}

void add(int x){

    while(x){

        change(root,1,n,w[top[x]],w[x]);

        x=fa[top[x]];

    }

}

int ask(int x){

    int ret=0;

    while(x){

        (ret+=query(root,1,n,w[top[x]],w[x]))%=xzy;

        x=fa[top[x]];

    }

    return ret;

}

struct data{

    int x,y,id;

    bool operator < (const data &b) const{ return x<b.x; }

}d[N];

int ans[N];

int main()

{

    n=read(); m=read(); k=read();

    for(int i=2;i<=n;i++) {

        fa[i]=read();

        addedge(fa[i],i);

    }

    for(int i=0;i<m;i++) {

        d[i].x=read(); d[i].y=read();

        d[i].id=i;

    }

    sort(d,d+m);

    dep[1]=1;

    dfs1(1);

    top[1]=1; w[1]=++tot; rk[tot]=1;

    dfs2(1);

    build(root=&pool2[++cnt2],1,n);

    int t=0;

    for(int i=0;i<m;i++){

        while(t<d[i].x) add(++t);

        ans[d[i].id]=ask(d[i].y);

    }

    for(int i=0;i<m;i++) printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}