P1613 跑路【倍增】【最短路】

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入格式

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

输入 #1复制

4 4
1 1
1 2
2 3
3 4

输出 #1复制

1

说明/提示

【样例解释】

1->1->2->3->4，总路径长度为4千米，直接使用一次跑路器即可。

【数据范围】

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

思路

　　由于数据量很小，可以考虑Floyd，而由于空间跳跃的缘故，直接跑Floyd出来的最短路不一定是真正的最短路。

　　于是用倍增的思想来维护一下两点间的最短路。

　　可以建立一个bool倍增数组 f[i][j][k] 来表示点对 i，j 间可以由空间跳跃一次跳达。

　　如何处理出所有的这样的点对。

　　可以枚举 K 跑 Floyd。因为是边权小于Maxlongint的，所以在 1 ~ 64 的范围内枚举k就可以了。

　　令中转点为 t ， 显然如果 i 到 t 是 2^(k-1) 的距离， 且 t 到 k 是 2^(k-1) 的距离，就知道一定有 i -> j 是 2 ^ k 的距离，此时更新 f[i][j][k] 和 dis[i][j] 即可。

ＣＯＤＥ

 #include <bits/stdc++.h>
 #define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
 #define eps 1e-8
 #define pi acos(-1.0)

 using namespace std;
 typedef long long LL;

 template<class T>inline void read(T &res)
 {
     char c;T flag=;
     while((c=getchar())<''||c>'')if(c=='-')flag=-;res=c-'';
     while((c=getchar())>=''&&c<='')res=res*+c-'';res*=flag;
 }

 namespace _buff {
     const size_t BUFF =  << ;
     char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
     char getc() {
         if (ib == ie) {
             ib = ibuf;
             ie = ibuf + fread(ibuf, , BUFF, stdin);
         }
         return ib == ie ? - : *ib++;
     }
 }

 int qread() {
     using namespace _buff;
     int ret = ;
     bool pos = true;
     char c = getc();
     for (; (c < '' || c > '') && c != '-'; c = getc()) {
         assert(~c);
     }
     if (c == '-') {
         pos = false;
         c = getc();
     }
     for (; c >= '' && c <= ''; c = getc()) {
         ret = (ret << ) + (ret << ) + (c ^ );
     }
     return pos ? ret : -ret;
 }

 const int maxn = 1e4 + ;

 int n,m;

 bool f[][][];
 int dis[][];

 void init() {
     for ( int i = ; i <= n; ++i ) {
         for ( int j = ; j <= n; ++j ) {
             if(i == j) {
                 dis[i][j] = ;
             }
             else {
                 dis[i][j] = 0x3f3f3f3f;
             }
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d %d",&n, &m);
     init();
     int u, v;
     for ( int i = ; i <= m; ++i ) {
         scanf("%d %d",&u, &v);
         dis[u][v] = ;
         f[u][v][] = ;
     }
     for (int t = ; t <= ; ++t) {
         for (int k = ; k <= n; ++k) {
             for (int i = ; i <= n; ++i) {
                 for (int j = ; j <= n; ++j) {
                     if(f[i][k][t-] && f[k][j][t-]) {
                         f[i][j][t] = ;
                         if(i != j) dis[i][j] = ;
                         else
                             dis[i][j] = ;
                     }
                 }
             }
         }
     }
     for (int k = ; k <= n; ++k) {
         for (int i = ; i <= n; ++i) {
            for (int j = ; j <= n; ++j) {
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
             }
         }
     }
     printf("%d\n",dis[][n]);
     return ;
 }