UVA - 1451 Average (斜率优化)
题意:由01组成的长度为n的子串,AT由0表示,GC由1表示,求一段长度大于等于L且GC率最高的子串的起始终止坐标,若GC率相同,取长度较小,若长度相同,取起始坐标最小。
分析:
1、一个子串(i+1,j)的GC率为(sum[j] - sum[i]) / (j - i),sum[j]为前缀和
上式可以理解为点(i, sum[i])与点(j, sum[j])的斜率表达式。
因此问题可转化为求横坐标之差大于等于L的两点所组成的直线斜率的最大值。
2、https://wenku.baidu.com/view/b97cd22d0066f5335a8121a3.html?from_page=view&from_mod=download
上述论文可知,任何一个点Pt的检查集合中,不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点,因此我们可以删去每一个上凸点,剩下的则是一个下凸折线。
3、利用单调性求过检查点Pt与下凸折线相切的直线,从而得到当前右端点下最优的左端点。
#include<cstdio>
#include<cstring>
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#define lowbit(x) (x & (-x))
const double eps = 1e-8;
inline int dcmp(double a, double b){
if(fabs(a - b) < eps) return 0;
return a > b ? 1 : -1;
}
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const LL LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const LL LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, 1};
const int dc[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1.0);
const int MAXN = 100000 + 10;
const int MAXT = 10000 + 10;
using namespace std;
char s[MAXN];
int sum[MAXN];
deque<int> q;
int judge(int a, int b, int c, int d){
return (sum[a] - sum[b]) * (c - d) - (sum[c] - sum[d]) * (a - b);
}
int main(){
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--){
memset(sum, 0, sizeof sum);
q.clear();
int n, L;
scanf("%d%d", &n, &L);
scanf("%s", s + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i){
sum[i] = sum[i - 1] + s[i] - '0';
}
int ansl = 0, ansr = L;//最优区间初始化为(1,L)
for(int i = L; i <= n; ++i){//枚举右端点
int p = i - L;
while(q.size() > 1){//维护下凸折线
int tmpj = q[q.size() - 1];
int tmpk = q[q.size() - 2];
if(judge(tmpj, tmpk, p, tmpj) > 0){//上凸
q.pop_back();
}
else{
break;
}
}
q.push_back(p);//在右端加入新的点
while(q.size() > 1){//找与下凸折线的切点
if(judge(i, q[0], i, q[1]) <= 0){
q.pop_front();
}
else break;
}
int tmp = judge(i, q[0], ansr, ansl);
if(tmp > 0 || (tmp == 0 && i - q[0] < ansr - ansl)){
ansl = q[0];
ansr = i;
}
}
printf("%d %d\n", ansl + 1, ansr);
}
return 0;
}
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