【题解】Atcoder AGC#01 E-BBQ Hard

　　计数题萌萌哒~

　　这道题其实就是统计 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}C\binom{a[i] + a[j]}{a[i] + a[j] + b[i] + b[j]}\) 。这个式子不是很好统计，我们可以转化一下：

　\((\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}C\binom{a[i] + a[j]}{a[i] + a[j] + b[i] + b[j]} - \sum_{i = 1}^{n}C\binom{2 * a[i]}{2 * a[i] + 2 * b[i]}) / 2\)

　　这样的话，我们只需要考虑如何统计前一部分的贡献即可。前一部分的贡献是多少呢？就是平面上所有的点 \((-a[j], -b[j])\) 到达 \((a[i],b[i])\) 的方案数。这个我们可以 \(a[i]^{2}\)的 dp 统计。**启示：有时缩小限制好，有时放宽限制容斥计算大法好哇~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2500000
#define mod 1000000007
#define maxm 4020
#define int long long
int n, a[maxn], b[maxn], inv[maxn], fac[maxn];
int ans, m, S = , f[maxm][maxm];

int read()
{
    int x = , k = ;
    char c; c = getchar();
    while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * k;
}

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }
int C(int n, int m)
{
    if(n < m || m <  || n < ) return ;
    return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

void pre()
{
    fac[] = fac[] = ; inv[] = inv[] = ;
    for(int i = ; i < maxn; i ++) fac[i] = fac[i - ] * i % mod;
    for(int i = ; i < maxn; i ++) inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    for(int i = ; i < maxn; i ++) inv[i] = inv[i] * inv[i - ] % mod;
}

signed main()
{
    pre(); n = read();
    for(int i = ; i <= n; i ++)
    {
        a[i] = read(), b[i] = read();
        f[-a[i] + S][-b[i] + S] ++;
    }
    m =  * S;
    for(int i = ; i <= m; i ++)
        for(int j = ; j <= m; j ++)
            Up(f[i][j], (f[i - ][j] + f[i][j - ]) % mod);
    for(int i = ; i <= n; i ++)
    {
        Up(ans, f[a[i] + S][b[i] + S]);
        Up(ans, mod - C( * (a[i] + b[i]),  * a[i]));
    }
    printf("%lld\n", ans * inv[] % mod);
    return ;
}