CF960G(第一类斯特林数)

题目

CF960G

做法

设\(f(i,j)\)为\(i\)个数的序列，有\(j\)个前缀最大值的方案数

我们考虑每次添一个最小数，则有：\(f(i,j)=f(i-1,j)+(i-1)*f(i-1,j-1)\)，显然这是第一类斯特林数

从而我们得到一个朴素的答案：$$Ans=\sum\limits_{i=1}^{{n}f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}×C_{n-1}}i$$

理解：枚举\(i+1\)为最大值添的位置，则已限制了前缀最值个数及后缀最值个数，然后再乘上前半部分所填的数

观察\(f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}\)，发现第一维和唯一：$$Ans=\begin{bmatrix}n-1\a+b-2\end{bmatrix}C_{a+b-2}^{a-1}$$

可能会有点难理解：等同于分类成\(a+b-2\)个环，而环是不考虑顺序的，所以我们选择不考虑打乱顺序地选择环

至此，我们唯一需要的就是快速求出第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\)

即使是单个数也无法有特殊的公式快速得出，所以我们用与求整行第一类斯特林数的方法求出

\(O(nlog^2n)\)的方法已经烂大街了，分治一下就行

\(O(nlogn)\)：由于涉及到公式推倒，不是本题解的重点

移步浅谈斯特林数与斯特林反演，内有详细证明推倒及代码

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL mod=998244353,g=3,_g=332748118,maxn=2e5+9;
inline LL Pow(LL base,LL b){
	LL ret(1);
	while(b){
		if(b&1) ret=1ll*ret*base%mod; base=1ll*base*base%mod; b>>=1;
	}return ret;
}
LL r[maxn],W[maxn];
inline LL Fir(LL n){
	LL limit(1),len(0),up(n<<1);
	while(limit<up){
		limit<<=1; ++len;
	}
	for(LL i=0;i<limit;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<len-1);
	return limit;
}
inline void NTT(LL *a,LL n,LL type){
	for(LL i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) std::swap(a[i],a[r[i]]);
	for(LL mid=1;mid<n;mid<<=1){
		LL wn(Pow(type?g:_g,(mod-1)/(mid<<1)));
		W[0]=1; for(LL i=1;i<mid;++i) W[i]=1ll*W[i-1]*wn%mod;
		for(LL R=mid<<1,j=0;j<n;j+=R)
		    for(LL k=0;k<mid;++k){
		    	LL x(a[j+k]),y(1ll*W[k]*a[j+mid+k]%mod);
		    	a[j+k]=1ll*(x+y)%mod; a[j+mid+k]=1ll*(x-y+mod)%mod;
			}
	}
}
LL T[maxn],F[maxn],H[maxn],fac[maxn],fav[maxn],tmp[maxn],sum[maxn],B[maxn];
inline LL Mul(LL n,LL *a,LL *b,LL *ans){
	LL limit(Fir(n));
	NTT(a,limit,1); NTT(b,limit,1);
	for(LL i=0;i<limit;++i) ans[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	NTT(ans,limit,0);
	for(LL i=((n-1)<<1)+1;i<limit;++i) a[i]=b[i]=0;
	return Pow(limit,mod-2);
}
inline void Solve(LL n,LL *a){
	if(!n){ a[0]=1; return; }
	if(n==1){ a[1]=1; return; }
	LL len(n/2);
	Solve(len,a);
	for(LL i=0;i<=len;++i){
		F[i]=1ll*Pow(len,i)*fav[i]%mod;
		H[i]=1ll*fac[i]*a[i]%mod;
	}
	std::reverse(H,H+len+1);
	LL limit(Fir(len+1));
	NTT(F,limit,1); NTT(H,limit,1);
	for(LL i=0;i<limit;++i) F[i]=1ll*F[i]*H[i]%mod;
	NTT(F,limit,0);
	LL ty(Pow(limit,mod-2));
	for(LL i=0;i<=len;++i) tmp[i]=1ll*F[len-i]*ty%mod*Pow(fac[i],mod-2)%mod;
	for(LL i=(len<<1);i<=limit;++i) F[i]=H[i]=0;
	LL val(Mul(len+1,a,tmp,B));
	for(LL i=0;i<=(len<<1);++i) a[i]=1ll*B[i]*val%mod;
	if(n&1)
		for(LL i=n;i>=1;--i) a[i]=1ll*(a[i-1]+1ll*(n-1)*a[i]%mod)%mod;
}
LL n,a,b,m;
LL ans[maxn];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
	LL val;
	val=fac[0]=fac[1]=1;
	for(LL i=2;i<=n;++i) val=fac[i]=1ll*val*i%mod;
	val=fav[n]=Pow(fac[n],mod-2);
	for(LL i=n;i>=1;--i) val=fav[i-1]=1ll*val*i%mod;
	Solve(n-1,ans);
    n=a+b-2; m=a-1;
	printf("%d\n",1ll*ans[n]*fac[n]%mod*fav[m]%mod*fav[n-m]%mod%mod);
}