有标号的DAG计数 III

Description

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案 mod 10007 的结果。

Solution

弱连通图即把边变成无向之后成为连通的图

考虑补集转换,用 \(DAG\) 的方案数减去不连通的方案数

设 \(f[i]\) 为大小为 \(i\) 的\(DAG\)的方案数

可以像 \(DAG I\) 那样求出来

\(g[i]\) 为弱连通图的方案数

\(g[n]=f[n]-\sum_{i=1}^{n}g[i]*f[i-j]*C_{n-1}^{i-1}\)

即枚举与 \(1\) 相连的连通块大小,因为这个块大小不一样,所以可以不重不漏

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005,mod=10007;
int n,c[N][N],bin[N*N],f[N],g[N];
int main(){
	freopen("pp.in","r",stdin);
	freopen("pp.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
	}
	bin[0]=1;for(int i=1,lim=n*n;i<=lim;i++)bin[i]=bin[i-1]*2%mod;
	f[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[i]=(f[i]+(j&1?1:-1)*1ll*f[i-j]*bin[j*(i-j)]*c[i][j])%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		g[i]=f[i];
		for(int j=1;j<i;j++){
			g[i]=(g[i]-1ll*f[i-j]*g[j]*c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
	if(g[n]<0)g[n]+=mod;
	cout<<g[n]<<endl;
	return 0;
}