DP。

具体做法:dp[i][j]表示长度为 i 的括号串,前缀和(左括号表示1,右括号表示-1)为 j 的有几种。

状态转移很容易得到:dp[i][j]=dp[i - 1][j + 1]+dp[i - 1][j - 1],表示 i 这位分别放上右括号和左括号。

然后就是要处理题目的问题了:

我们可以枚举P串的长度和P串的前缀和,来看这种情况下是否符合题目要求,如果符合答案增加。

那么如何判断P串长度为left,前缀和为p的情况下,有几种符合题目要求呢?

先对已经存在的那个S串做一次括号匹配,做完之后剩下的肯定是 L个右括号+R个左括号

接下来的过程都是从左往右看P串,从右往左看Q串

我们假设P串的前缀和是p,S串的前缀和是k,很容易得到k=R-L;我们根据p和k可以推出Q串的前缀和是p+k(注意:Q串是从右往左看的

我们需要保证p+k>=0&&p+k<=n-m,此外还需要保证 P串的前缀和 - L >=0,即p - L >= 0,Q串前缀和 - R>=0,即p + k - R >= 0

满足上述几个条件,答案增加 dp[left][p] * dp[right][p + k]

题外话:卡特兰数第n项,就是dp[2*n][0]。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std; const int maxn = + ;
char s[maxn];
char st[maxn];
int top;
long long dp[ + ][ + ];
long long MOD = 1e9 + ;
int n, m;
long long ans;
long long k; void read()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
scanf("%s", s);
} void init()
{
memset(dp, , sizeof dp);
memset(st, , sizeof st);
ans = ; k = ; top = -;
} void work()
{
for (int i = ; s[i]; i++)
{
if (top == -) st[++top] = s[i];
else
{
if (st[top] == '('&&s[i] == ')') st[top] = , top--;
else st[++top] = s[i];
}
} int L = , R = ;
for (int i = ; st[i]; i++)
{
if (st[i] == ')') L++;
else break;
}
R = strlen(st) - L;
k = R - L; dp[][] = ; for (int i = ; i <= n - m; i++)
{
for (int j = ; j <= n - m; j++)
{
if (j + <= n - m) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - ][j + ]) % MOD;
if (j - >= ) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - ][j - ]) % MOD;
}
} for (int left = ; left <= n - m; left++)
{
int right = n - m - left; for (int p = ; p <= left; p++)
{
if (p + k >= && p - L >= && p + k - R >= && p + k <= n - m)
ans = (ans + (dp[left][p] * dp[right][p + k]) % MOD) % MOD;
}
} printf("%lld\n", ans); } int main()
{
read();
init();
work();
return ;
}

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