科普：浅谈 Hellinger Distance

浅谈 Hellinger Distance

2016.05.24

　　最近在看 Hellinger Distance（海林格距离）， 平时看多了欧式距离，马氏距离等等，貌似介绍这个的材料不是很多，例如：维基百科上的一些，和 下列这个链接上的pdf材料：http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/2011-12/comm/lectures/l12.pdf  大家凑合着看看吧，我这里简要的介绍下，有理解不对的地方，烦劳指点下。

　　Hellinger Distance 又称 Bhattacharyya distance，因为作者的姓氏叫 Anil Kumar Bhattacharya。在概率和统计学中，Hellinger Distance 被用来衡量两个概率分布之间的相似性，属于 f-divergence 的一种。而 f-divergence 又是什么呢？一个 f-divergence 是一个函数 D_f(P||Q) 用来衡量两个概率分布P and Q 之间的不同。

　　我们假设基于[n]，有两个概率分布 P = {p_i}_i∈[n], Q = {q_i}_i∈[n] 。一个很自然的方法来定义两者之间的距离就是考虑两个概率向量 P and Q 之间的 L1-distance:

　　总的变换距离（the total variation distance），记为 Δ(P, Q)，是上述等式的一半。

　 显然：

　　定义：

　　对于概率分布 P = {pi}i∈[n], Q = {qi}i∈[n]，两者之间的Hellinger distance 定义为：

　　根据定义，Hellinger distance 是一种满足三角不等式（triangle inequality）的度量。根号下2是为了确保对于所有的概率分布，都有 h(P, Q) <= 1。

　　相关的性质：

　　x