原文链接:http://www.cnblogs.com/Jason-Damon/archive/2012/04/21/2460850.html

摘自百度百科

Bellman-ford算法是求含负权的单源最短路径算法,效率很低,但代码很容易写。即进行不停地松弛(relaxation),每次松弛把每条边都更新一下,若n-1次松弛后还能更新,则说明图中有负环(即负权回路,本文最后有解释),无法得出结果,否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化:每次松弛先设一个旗帜flag,初值为FALSE,若有边更新则赋值为TRUE,最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛,所以SPFA算法用队列进行了优化,效果十分显著,高效难以想象。SPFA还有SLF,LLL,滚动数组等优化。

 Dijkstra算法中不允许边的权是负权,如果遇到负权,则可以采用Bellman-Ford算法。

 

  Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=(V,E),其源点为s,加权函数w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

 

  适用条件&范围

 

  1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

 

  2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

 

  3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

 

  4.差分约束系统;

 

  Bellman-Ford算法描述:

 

  1,.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

 

  2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)

 

  3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

 

  描述性证明:

 

  首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。

 

  其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。

 

  在对每条边进行1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。

 

  每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)

 

  如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。

 

  如果有负权回路,那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。

C++ pseudo code

Bellman-Ford(G,w,s) :boolean //图G ,边集 函数 w ,s为源点   
for each vertex v ∈ V(G) do //初始化 1阶段   
d[ v] ←+∞
d[s] ←0; //1阶段结束
for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始,双重循环。
   for each edge(u,v) ∈E(G) do //边集数组要用到,穷举每条边。    If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //松弛判断,w(w,v)是u到v的权值
  d[v]=d[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束
for each edge(u,v) ∈E(G) do
  If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
  Exit false //存在负权回路
Exit true

 负权回路

 在一个图里每条边都有一个权值(有正有负)
如果存在一个环(从某个点出发又回到自己的路径),而且这个环上所有权值之和是负数,那这就是一个负权环,也叫负权回路
存在负权回路的图是不能求两点间最短路的,因为只要在负权回路上不断兜圈子,所得的最短路长度可以任意小。(转自百度知道)

 代码实现:

  Bellman-ford算法的运行时间为O(VE),V为顶点数,E为边数。

/*************************************************************************
> File Name: Bellman_ford.cpp
> Author: He Xingjie
> Mail: gxmshxj@163.com
> Created Time: 2014年06月08日 星期日 22时33分07秒
> Description:
************************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdio> using namespace std; #define INF 99999
int map[100][100], dist[100]; bool Bellman_ford(int n, int s)
{
int v, u; for (v=1; v<n; v++)
{
if (map[s][v] == INF)
dist[v] = INF;
else
dist[v] = map[s][v];
} dist[s] = 0; for (v=1; v<n; v++)
for (u=0; u<n; u++)
if (map[u][v] < INF) //u->v has path
if (dist[v] > dist[u] + map[u][v])
dist[v] = dist[u] + map[u][v]; //遍历所有的边
for (v=0; v<n; v++)
for (u=0; u<n; u++)
if (v != u && map[u][v] != INF)
if (dist[v] > dist[u] + map[v][u])
return false; return true;
} void PrintMap(int n)
{
int i, j;
//输出矩阵
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=0; j<n; j++)
{
if (map[i][j] == INF)
printf("INF ");
else
printf("%d ", map[i][j]);
} printf("\n");
}
} void PrintShortestValue(int n)
{
int i; for (i=1; i<n; i++)
printf("%d:%d ", i, dist[i]);
printf("\n");
} int main()
{
int n, m, i, j; freopen("input.txt", "r", stdin);
cin>>n>>m; //n是顶点数,m是边数 //初始化
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=0; j<n; j++)
map[i][j] = INF;
} //输入
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int i,j;
cin>>i>>j;
cin>>map[i][j];
} PrintMap(n); Bellman_ford(n, 0);
PrintShortestValue(n); return 0;
}

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