812考试总结(NOIP模拟37)[数列·数对·最小距离·真相]
前言
考得挺憋屈的。。。
先是搞了两个半小时的 T1 后来发现假了，又没多想跳了。。
然后一看 T2 这不是队长快跑嘛。。。
先是根据自己的想法打了一遍（考完之后发现是对的。。）
然后回想了一下之前的题，不对呀，我记得有一个 if-else 的。
接下来我就这么改了，然后连样例都过不去了。。。
后来 40min 码完了两个暴力（还有一个打错了。。）
最后剩下了 30min 又去看 T1 了，推出来了半个正解 50pts
感觉哪个都有一点感觉，会但不是完全会。。
T1 数列
解题思路
扩展欧几里德。。。
发现当 x 为 1 的时候可以直接用扩展欧几里德求出来。
也可以进而求出其他数的一组可行但不一定是最优的解。
假设已经有 \(ax'+by'=m\)
可以推出： \(ax'+kab+by'-kab=m\)
因此可以得出解集： \((x'+kb,y'-ka)\)
然后取最小的正值或者最大的负值就好了。
注意这里最优的 x 不一定对应最优的 y 。
code
50pts
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1e5+10;
int n,a,b,g,lcm,ans,s[N],w[N];
struct Node
{
int x,y;
};
int gcd(int x,int y)
{
if(!y) return x;
return gcd(y,x%y);
}
Node exgcd(int a,int b)
{
if(!b) return (Node){1,0};
Node temp=exgcd(b,a%b);
int x=temp.x,y=temp.y;
return (Node){y,x-a/b*y};
}
signed main()
{
n=read(); a=read(); b=read();
g=gcd(a,b);
Node t=exgcd(a,b);
t.x=abs(t.x); t.y=abs(t.y);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i]=read();
if(s[i]<0) s[i]=-s[i];
if(s[i]%g){printf("-1");return 0;}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]/=g;
a/=g; b/=g; lcm=a*b/g;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int tmp1,tmp2,x,y;
x=(s[i]*t.x/b)*b;
y=(s[i]*t.y/a)*a;
tmp1=min(abs(b+x-s[i]*t.x),abs(s[i]*t.x-x));
tmp2=min(abs(a+y-s[i]*t.y),abs(s[i]*t.y-y));
ans+=tmp1+tmp2;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
正解
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1e5+10,INF=1e18;
int n,a,b,g,lcm,ans,s[N],w[N];
struct Node
{
int x,y;
};
int gcd(int x,int y)
{
if(!y) return x;
return gcd(y,x%y);
}
Node exgcd(int a,int b)
{
if(!b) return (Node){1,0};
Node temp=exgcd(b,a%b);
int x=temp.x,y=temp.y;
return (Node){y,x-a/b*y};
}
signed main()
{
n=read(); a=abs(read()); b=abs(read());
if(a>b) swap(a,b);
g=gcd(a,b);
Node t=exgcd(a,b);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i]=read();
if(s[i]<0) s[i]=-s[i];
if(s[i]%g){printf("-1");return 0;}
}
a/=g; b/=g;
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]/=g;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int num=s[i]/b; s[i]%=b;
int x=s[i]*t.x;
int y=s[i]*t.y+num;
int temp=abs(x)+abs(y);
if(x>0)
{
int tmp=abs(x)/b;
x-=tmp*b; y+=tmp*a;
temp=min(temp,abs(x)+abs(y));
temp=min(temp,abs(x-b)+abs(y+a));
}
else
{
int tmp=abs(x)/b;
x+=tmp*b; y-=tmp*a;
temp=min(temp,abs(x)+abs(y));
temp=min(temp,abs(x+b)+abs(y-a));
}
ans+=temp;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
T2 数对
解题思路
首先证明一下按照 \(a+b\) 从大到小排序的正确性。
假设 i 位于 j 之前，那么一定是 \(a_i<b_j\) 并且 \(b_i>a_j\) 更优。
所以此时的 \(a_i+b_i<a_j+b_j\)（严格来讲应该有等于的情况）
然后对于相反的情况也是差不多，剩下两种情况的排序的顺序无所谓。。
接下来就是对于 \([1,min(a_i,b_i)]\) 以及 \([a_i+1,b_i]\) 这两个区间的更新了。
设 DP数组 \(f_{i,j}\) 表示排序之后的序列选前 i 个数，最大的 a 为 j 的最大值。。
发现这个可以线段树优化，单点修改，区间修改，区间查询就好了。
- 注意：排序要在离散化之前，单点修改要取 max。
code
60pts
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1e5+10,M=3e3+10;
int n,ans,f[M][M<<1];
int cnt,lsh[N];
struct Node
{
int a,b,w;
}s[N];
bool comp(Node x,Node y)
{
return x.a+x.b<y.a+y.b;
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].a=read(); s[i].b=read(); s[i].w=read();
lsh[++cnt]=s[i].a; lsh[++cnt]=s[i].b;
}
sort(s+1,s+n+1,comp);
sort(lsh+1,lsh+cnt+1);
cnt=unique(lsh+1,lsh+cnt+1)-lsh-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].a=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,s[i].a)-lsh;
s[i].b=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,s[i].b)-lsh;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=cnt;j++)
f[i][j]=f[i-1][j];
for(int j=1;j<=min(s[i].a,s[i].b);j++)
f[i][s[i].a]=max(f[i][s[i].a],f[i-1][j]+s[i].w);
for(int j=s[i].a+1;j<=s[i].b;j++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]+s[i].w);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=cnt;j++)
ans=max(ans,f[i][j]);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
正解
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=2e5+10;
int n,ans,tre[N<<2],laz[N<<2];
int cnt,lsh[N];
struct Node
{
int a,b,w;
}s[N];
bool comp(Node x,Node y)
{
return x.a+x.b<y.a+y.b;
}
void push_up(int x)
{
tre[x]=max(tre[ls],tre[rs]);
}
void push_down(int x)
{
if(!laz[x]) return ;
tre[ls]+=laz[x];
tre[rs]+=laz[x];
laz[ls]+=laz[x];
laz[rs]+=laz[x];
laz[x]=0;
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R) return tre[x];
push_down(x);
int mid=(l+r)>>1,ans1=0,ans2=0;
if(L<=mid) ans1=query(ls,l,mid,L,R);
if(R>mid) ans2=query(rs,mid+1,r,L,R);
push_up(x);
return max(ans1,ans2);
}
void update(int x,int l,int r,int L,int R,int num)
{
if(L<=l&&r<=R)
{
tre[x]+=num;
laz[x]+=num;
return ;
}
push_down(x);
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) update(ls,l,mid,L,R,num);
if(R>mid) update(rs,mid+1,r,L,R,num);
push_up(x);
}
void insert(int x,int l,int r,int pos,int num)
{
if(l==r)
{
tre[x]=max(tre[x],num);
return ;
}
push_down(x);
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) insert(ls,l,mid,pos,num);
else insert(rs,mid+1,r,pos,num);
push_up(x);
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].a=read(); s[i].b=read(); s[i].w=read();
lsh[++cnt]=s[i].a; lsh[++cnt]=s[i].b;
}
sort(s+1,s+n+1,comp);
sort(lsh+1,lsh+cnt+1);
cnt=unique(lsh+1,lsh+cnt+1)-lsh-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].a=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,s[i].a)-lsh;
s[i].b=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,s[i].b)-lsh;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i].b>s[i].a) update(1,1,cnt,s[i].a+1,s[i].b,s[i].w);
insert(1,1,cnt,s[i].a,query(1,1,cnt,1,min(s[i].a,s[i].b))+s[i].w);
}
printf("%lld",tre[1]);
return 0;
}
T3 最小距离
解题思路
思路极简。。
多源最短路，同时记录每一个点的最小值来自于哪一个特殊点，跑一下 Dij
接下来枚举枚举每一条边，用这条边的两个端点的两距离个最小值与边权之和更新两个特殊点的答案就好了。
然后就没有然后了。。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=2e5+10;
int n,m,p,s[N],dis[N],ans[N],pre[N];
bool vis[N];
int tot=1,head[N],nxt[N<<1],ver[N<<1],edge[N<<1];
struct Road
{
int l,r,val;
}pat[N];
priority_queue<pair<int,int> > q;
void add(int x,int y,int val)
{
ver[++tot]=y;
edge[tot]=val;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void Dij()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=1;i<=p;i++)
{
pre[s[i]]=s[i];
dis[s[i]]=0;
q.push(make_pair(0,s[i]));
}
while(!q.empty())
{
int x=q.top().second; q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=true;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int to=ver[i];
if(dis[x]+edge[i]<dis[to])
{
pre[to]=pre[x];
dis[to]=dis[x]+edge[i];
q.push(make_pair(-dis[to],to));
}
}
}
}
signed main()
{
n=read(); m=read(); p=read();
for(int i=1;i<=p;i++) s[i]=read();
memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
for(int i=1,x,y,val;i<=m;i++)
{
pat[i].l=x=read();
pat[i].r=y=read();
pat[i].val=val=read();
add(x,y,val);
add(y,x,val);
}
Dij();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=pat[i].l,y=pat[i].r;
if(pre[x]==pre[y]) continue;
ans[pre[x]]=min(ans[pre[x]],dis[x]+dis[y]+pat[i].val);
ans[pre[y]]=min(ans[pre[y]],dis[x]+dis[y]+pat[i].val);
}
for(int i=1;i<=p;i++)
printf("%lld ",ans[s[i]]);
return 0;
}
T4 真相
解题思路
思路来自 AaMuXiiiiii 。。
记录每一个 \(\$\) 的位置以及所代表的值。
分别枚举所有的值，然后逆推回去看真话的数量是否一直。
如果都不成立的话，在判断一下说的都是假话的话是否可行。
如果没有 \(\$\) 的话直接分类讨论第一个是否是真话是否合法就好了。
代码实现细节较多，数组清零不可以 memset 会 TLE
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1e5+10;
int T,n,s[N],t[N],pre[N][2],ans[N][2];
map<int,bool> b;
vector<int> pos,v;
string opt;
void clear()
{
b.clear();
for(int i=0;i<=n;i++) pre[i][0]=pre[i][1]=ans[i][0]=ans[i][1]=0;
vector<int>().swap(pos); vector<int>().swap(v);
}
void solve()
{
n=read(); int flag=0,maxn=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>opt;
if(opt[0]=='$') scanf("%lld",&s[i]),flag=i;
if(opt[0]=='+') s[i]=-1;
if(opt[0]=='-') s[i]=-2;
maxn=max(maxn,s[i]);
}
for(int i=1;i<=n-flag;i++) t[i]=s[i+flag];
for(int i=1;i<=flag;i++) t[i+n-flag]=s[i];
memcpy(s,t,sizeof(t));
if(flag)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
if(s[i]>=0)
{
pos.push_back(i);
if(!b[s[i]]){b[s[i]]=true;v.push_back(s[i]);}
}
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if(s[i]<0) continue;
int las=true;
pre[i][1]=1;
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if(s[j]>=0) break;
if(s[j]==-1)
{
if(las) pre[i][1]++,las=true;
else las=false;
}
else
{
if(!las) pre[i][1]++,las=true;
else las=false;
}
}
las=false;
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if(s[j]>=0) break;
if(s[j]==-1)
{
if(las) pre[i][0]++,las=true;
else las=false;
}
else
{
if(!las) pre[i][0]++,las=true;
else las=false;
}
}
}
int all=0;
for(int i=0;i<pos.size();i++)
{
ans[s[pos[i]]][0]+=pre[pos[i]][0];
ans[s[pos[i]]][1]+=pre[pos[i]][1];
}
for(int i=0;i<v.size();i++)
all+=ans[v[i]][0];
for(int i=0;i<v.size();i++)
if(ans[v[i]][1]-ans[v[i]][0]+all==v[i])
{
printf("consistent\n");
clear();
return ;
}
int sum=0;
for(int i=0;i<pos.size();i++)
sum+=pre[pos[i]][0];
for(int i=0;i<v.size();i++)
if(sum==v[i])
{
printf("inconsistent\n");
clear();
return ;
}
printf("consistent\n");
clear();
return ;
}
bool las=true;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
if(s[i]==-2)
las^=1;
if(las&&s[n]==-1)
{
printf("consistent\n");
return ;
}
if(!las&&s[n]==-2)
{
printf("consistent\n");
return ;
}
las=false;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
if(s[i]==-2)
las^=1;
if(las&&s[n]==-2)
{
printf("consistent\n");
return ;
}
if(!las&&s[n]==-1)
{
printf("consistent\n");
return ;
}
printf("inconsistent\n");
}
signed main()
{
T=read();
while(T--) solve();
return 0;
}
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