Noip模拟18 2021.7.17 （文化课专场）

T1 导弹袭击（数学）

显然，我们要找到最优的A,B使得一组a，b优于其他组那么可以列出：

$\frac{A}{a_i}+\frac{B}{b_i}<\frac{A}{a_j}+\frac{B}{b_j}$

然后化简可得：

$-\frac{A}{B}<\frac{\frac{1}{b_i}-\frac{1}{b_j}}{\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}}$

就是裸斜率式

考场上想到维护凸包，但并未打出。。。

正解还要有好多预先步骤，用经典指针+经典排序扫描将显然不能成为最优的导弹去掉

1.a一样而b不是最大的

2.b一样而a不是最大的

3.有一组是a，b均大于另一组a，b的

扫描过后用单调栈维护斜率为负的单调递增的左下凸包即可

注意的就是将斜率式化简通分，否则大数据值过小而无法判断

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define LD long double
 3 using namespace std;
 4 inline int read(){
 5     int x=0,f=1; char ch=getchar();
 6     while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 7     while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
 8     return x*f;
 9 }
10 const int NN=3e5+5,inf=0x7fffffff;
11 int n,top; bool vis[NN];
12 struct point{
13     LD x,y;int id;
14     friend bool operator<(point a,point b){return a.x==b.x? a.y<b.y:a.x>b.x;}
15 };point p[NN],sta[NN];
16 struct SNOW{int a,b,tag,id;}s[NN];
17 inline bool cmp1(SNOW x,SNOW y){return x.a==y.a?x.b>y.b:x.a>y.a;}//以a排列
18 inline bool cmp2(SNOW x,SNOW y){return x.b==y.b?x.a>y.a:x.b>y.b;}//以b排列
19 inline bool cmp3(SNOW x,SNOW y){return x.a==y.a?x.b>y.b:x.a<y.a;}
20 inline LD calc(point p1,point p2){return (p1.x*p2.x)/(p1.y*p2.y)*((p1.y-p2.y)/(p1.x-p2.x));}
21 vector<int> kin[NN];
22 inline void pai_a(){
23     sort(s+1,s+n+1,cmp1); int pp=s[1].a,i=1,maxn=s[1].b;
24     while(i<=n){
25         int j=1; while(pp==s[i+j].a){
26             if(s[i+j].b!=s[i].b) s[i+j].tag=1;
27             if(maxn<s[i+j].b) maxn=s[i+j].b;
28             if(s[i+j].b<maxn) s[i+j].tag=1;
29             j++;
30         }
31         if(maxn<s[i].b) maxn=s[i].b;
32         if(s[i].b<maxn) s[i].tag=1;
33         pp=s[(i=i+j)].a;
34     }
35 }
36 inline void pai_b(){
37     sort(s+1,s+n+1,cmp2); int pp=s[1].b,i=1,maxn=s[1].a;
38     while(i<=n){
39         int j=1; while(pp==s[i+j].b){
40             if(s[i+j].a!=s[i].a) s[i+j].tag=1;
41             if(maxn<s[i+j].a) maxn=s[i+j].a;
42             if(s[i+j].a<maxn) s[i+j].tag=1;
43             j++;
44         }
45         if(maxn<s[i].a) maxn=s[i].a;
46         if(s[i].a<maxn) s[i].tag=1;
47         pp=s[(i=i+j)].b;
48     }
49 }
50 inline int getrange(int x){
51     sort(s+1,s+n+1,cmp3); int i=1,pp=s[1].a;
52     while(i<=n){
53         if(s[i].a==inf) break;
54         int j=1; while(pp==s[i+j].a){
55             kin[s[i].id].push_back(s[i+j].id);
56             s[i+j].a=s[i+j].b=inf;
57             j++;
58         }
59         pp=s[(i=i+j)].a;
60     } x=--i;
61     sort(s+1,s+x+1,cmp3);
62     i=1; while(i<=x){
63         if(s[i].a==inf) break;
64         i++;
65     } x=--i;
66     return x;
67 }
68 namespace WSN{
69     inline int main(){
70         n=read(); int tot=n;
71         for(int i=1;i<=n;i++) s[i].a=read(),s[i].b=read(),s[i].id=i;
72         pai_a(); pai_b();
73         for(int i=1;i<=n;i++) if(s[i].tag==1) s[i].a=s[i].b=inf;
74         n=getrange(n);
75         for(int i=1;i<=n;i++) p[i].x=(LD)s[i].a,p[i].y=(LD)s[i].b,p[i].id=s[i].id;
76         sort(p+1,p+n+1); top=2; sta[1]=p[1]; sta[2]=p[2];
77         for(int i=3;i<=n;i++){
78             while(top>1&&(calc(sta[top],sta[top-1])>calc(p[i],sta[top-1]))) top--;
79             sta[++top]=p[i];
80         }
81         for(int i=1;i<=top;i++){
82             vis[sta[i].id]=1;
83             for(int j=0;j<kin[sta[i].id].size();j++) vis[kin[sta[i].id][j]]=1;
84         }
85         for(int i=1;i<=tot;i++) if(vis[i]) printf("%d ",i);
86         return 0;
87     }
88 }
89 signed main(){return WSN::main();}

T2 炼金术士的疑惑

输入直接看傻，然后一看高斯消元板子不会就直接跳了。

不过自认为这题除了输入比较miao以外没啥难的

想到将方程式所有的元素移到左侧，变符号，那么一列一列消元

最后剩下的一列得出的答案便是最后一个反应的焓变（性感理解一下）

技巧：

1.使用map去掉重复元素

2.根据读入字符进行添加行列式项

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 inline int read(){
 4     int x=0,f=1; char ch=getchar();
 5     while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 6     while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
 7     return x*f;
 8 }
 9 int n,cnt;
10 double a[205][205];
11 map<string,int> has;
12 inline void init(){
13     n=read();
14     string chm,opt;
15     bool flag=0;
16     double x;
17     for(int i=1;i<=n;i++){
18         flag=0;
19         while(1){
20             cin>>x>>chm>>opt;
21             if(!has[chm]) has[chm]=++cnt;
22             a[i][has[chm]]=flag?-x:x;
23             if(opt[0]=='=') flag=1;
24             if(opt[0]=='H'){
25                 cin>>a[i][201];
26                 break;
27             }
28         }
29     }
30     ++n; flag=0;
31     while(1){
32         cin>>x>>chm>>opt;
33         if(!has[chm]) has[chm]=++cnt;
34         a[n][has[chm]]=flag?-x:x;
35         if(opt[0]=='=') flag=1;
36         if(opt[0]=='H'){
37             cin>>opt;
38             break;
39         }
40     }
41     for(int i=1;i<=n;i++)
42         a[i][cnt+1]=a[i][201];
43 }
44 inline void guass(){
45     int num=1;
46     for(int i=1;i<=cnt;i++){
47         int r=num;
48         for(int j=num;j<n;j++)
49             if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
50         if(fabs(a[r][i])<1e-10) continue;
51         for(int j=i;j<=cnt+1;j++) swap(a[r][j],a[num][j]);
52         for(int j=cnt+1;j>=i;j--) a[num][j]/=a[num][i];
53         for(int j=num+1;j<=n;j++)
54             if(fabs(a[j][i])>1e-10)
55                 for(int k=cnt+1;k>=i;k--) a[j][k]-=a[num][k]*a[j][i];
56         num++;
57     }
58 }
59 namespace WSN{
60     inline int main(){
61         init();
62         guass();
63         if(fabs(a[n][cnt+1])<0.05) puts("0.0");
64         else printf("%.1lf",-a[n][cnt+1]);
65         return 0;
66     }
67 }
68 signed main(){return WSN::main();}

T3 老司机的狂欢

题目第一问在问老司机不撞车的最大时间，

可以二分判断在当前时间下成立与否，左右端点确定

判断可以将其看作一段序列，在进行了t时间移动后这段序列的最长上升子序列是否大于k

那么我们用数状数组快速求出最长上升子序列长度判断即可

第二问就比较牛皮

我们知道最优时间以后进行二次判断，如果当前上升序列的个数大于k直接判断老司机造反

剩下的我们需要求字典序最小方案

把它看作一个树形结构，每个节点的父亲表示其最优转移方案，这样的话使用倍增思想建树

查询过程与求LIS类似，只是多增加一个编号的维护，minn和fa分别为维护最小编号的数组和第$2^i$级爹

再就是miin函数的返还值问题

技巧：

1.数状数组优化求LIS

2.倍增建树及LIS编号维护

3.二分答案

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define int long long
 3 #define pii pair<int,int>
 4 using namespace std;
 5 const int NN=700005,inf=1e18+5;
 6 int n,k;
 7 int tr[NN];
 8 int a[NN],dis[NN],new_n;
 9 int anss,fa[NN][21],minn[NN][21];
10 int con[NN];
11 pii t[NN];
12 //pair中存储的first表示值，second表示编号
13 //fa，minn数组表示的内容都是编号间的关系，minn是维护最小编号用的
14 struct node{
15     int x,a,id;
16     friend bool operator<(node m,node n){return m.x<n.x;}
17 };node d[NN];
18 inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
19 inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
20 inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
21 inline void update(int x,int val){for(int i=x;i<=new_n;i+=lowbit(i)) tr[i]=max(tr[i],val);}
22 inline int query(int x){int ans=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans=max(ans,tr[i]);return ans;}
23 inline bool check(int t){
24     memset(tr,0,sizeof(tr));
25     for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=a[i]=2*d[i].x+d[i].a*t*t;
26     sort(dis+1,dis+n+1); new_n=unique(dis+1,dis+n+1)-dis-1;
27     for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(dis+1,dis+new_n+1,a[i])-dis;
28     for(int i=1;i<=n;i++) update(a[i],query(a[i]-1)+1);
29     anss=query(new_n);
30     return anss>=k;
31 }
32
33 inline bool miin(pii a,pii b){
34     if(a.first!=b.first) return a.first<b.first;
35     int mina=a.second,minb=b.second;
36     int x=a.second,y=b.second;
37     for(int i=20;i>=0;i--){
38         if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
39             mina=min(mina,minn[x][i]);
40             minb=min(minb,minn[y][i]);
41             x=fa[x][i]; y=fa[y][i];
42         }
43     }
44     return mina>minb;
45 }
46 inline void build(int x,int f){
47     fa[x][0]=minn[x][0]=f;
48     for(int i=1;i<=20;i++){
49         fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
50         minn[x][i]=min(minn[fa[x][i-1]][i-1],minn[x][i-1]);
51     }
52 }
53 inline void merge(int x,pii val){
54     for(int i=x;i<=new_n;i+=lowbit(i))
55         if(miin(t[i],val)) t[i]=val;
56 }
57 inline pii search(int x){
58     pii ans=make_pair(0,0);
59     for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
60         if(miin(ans,t[i])) ans=t[i];
61     return ans;
62 }
63 namespace WSN{
64     inline int main(){
65         // freopen("1.in","r",stdin);
66         scanf("%lld%lld",&n,&k);
67         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&d[i].x,&d[i].a),d[i].id=i;
68         sort(d+1,d+n+1);
69         int l=0,r=86400,ans=l;
70         while(l<=r){
71             int mid=l+r>>1;
72             if(check(mid)) ans=mid,l=mid+1;
73             else r=mid-1;
74         }
75         printf("%lld\n",ans); check(ans);
76         if(anss>k) {printf("-1\n");return 0;}
77         for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=a[i]=2*d[i].x+d[i].a*ans*ans;
78         sort(dis+1,dis+n+1); new_n=unique(dis+1,dis+n+1)-dis-1;
79         for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(dis+1,dis+new_n+1,a[i])-dis;
80         // for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" "<<d[i].id<<endl;
81         for(int i=1;i<=n;i++){
82             pii now=search(a[i]-1);
83             build(d[i].id,now.second);
84             merge(a[i],make_pair(now.first+1,d[i].id));
85         }
86         int wsn=search(new_n).second;
87         for(int i=1;i<=k;i++){
88             con[i]=wsn;
89             wsn=fa[wsn][0];
90         }
91         sort(con+1,con+k+1);
92         for(int i=1;i<=k;i++) printf("%lld\n",con[i]);
93         return 0;
94     }
95 }
96 signed main(){return WSN::main();}